充要條件及其應用

摘 要 本文中首先給出充要條件的概念及一些判斷方法；然后根據具體實例找出學生對充要條件判斷失誤的原因，接著給出一個容易忽略的題型，一題多用，最后講到另一 種特例，挖掘題目中的隱含條件，并將之推廣到整個中學數學的教學過程中。

關鍵詞 充分條件 必要條件 充要條件 等價

一、關于充要條件的概念

若p€H！q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件

若p€H#q，則稱p是q的充要條件

若p€H！q，且q≠>p則稱p是q的充分不必要條件

若p≠>q，且p€H！q則稱p是q的必要不充分條件

若q<≠>p，則稱p是q的既不充分也不必要條件

二、教師如何教

充要條件的判斷，是近年來高考和會考試卷中的熱門題，也是學生學習的難點。結合解析幾何和高中試驗課本數學第1冊關于充要條件的內容，現歸納出如下三種解法：

1、定義法

（1）若A€H！B則A是B的充分條件，B是A的必要條件。

（2）若A€H！B且B≠>A，則A是B的充分非必要條件；B是A的必要非充分條件。

（3）若A€H#B，則A是B的充要條件。

（4）若A≠>B且B≠>A，則A既非B的充分條件，也非B的必要條件。

2、逆否法（命題法）

（1）若A€H！B，則A是B的必要條件；B是A的充分條件。

（2）若A€H！B且B≠>A，則A是B的必要非充分條件；B是A的充分非必要條件。

（3）若A€H#B，則A是B的充分條件。

（4）若A≠>B且B≠>A，則A既非B的充分條件，也非B的必要條件。

3、集合法

記條件A、B對應的集合分別為A、B，則有

（1）若A€H誃（或B€H誂），則A是B的充分條件，B是A的必要條件。

（2）若A€H袯（或B€H誂），則A是B的充分非必要條件；B是A的必要非充分條件。

（3）若A=B（或B=A即B€H誂且A€H誃），則A是B的充要條件。

三、如何在實際中應用

其實充要條件不僅僅是就題論題，還可以“一題多用”。

命題 已知A，B是△ABC的兩個內角，則sinA>sinB€H#AB>。設R是△ABC外接圓的半徑，sinA>sinB€H#2RsinA>2RsinBa>bA>B命題為真。

利用上述命題，有時可以比較方便地解決一些三角形的問題。

四、在整個教學過程中如何教，應用此理論

在高中數學課本中，介紹了“充分條件”和“必要條件”的概念，教學上往往是局限于能判斷給定命題中條件的充分性或必要性。實際上，有許多題目本身并未出現“充分條件”和“必要條件”的字樣，但在解題思考中，自覺應用“充分條件”，“必要條件”的概念，卻成為加深理解，避免誤入歧途的重要保證。學生在解題思考中經常會因忽視“充分條件”和“必要條件”的應用而導致錯解。

例1已知：2≤a+b≤4， 1≤a-b≤2，求4a-2b的范圍？

錯解 由題設條件2≤a+b≤4 （1）， 1≤a-b≤2 （2）

則（1）+（2）得 3≤2a≤6，即6≤4a≤12 （3），

由（2）得 -2≤-a+b-≤1 （4）， （1）+（4） 得 0≤2b≤3，

即 -3≤-2b≤0 （5），（3）+（5） 得 3≤4a≤-2b≤12.

分析 本題的正確答案為54a-2b10。而上面解法的每個步驟，都應用了不等式的性質，卻為什么得到錯誤的答案呢？錯誤的根本原因，是沒有運用“充分條件”和“必要條件”的概念，區分不等式的性質中，哪些可以用來解不等式，而哪些可以用來證明不等式。

證明不等式（或等式），只要求每一步的結論是前提的必要條件；但解不等式（或方程）要求的是同解過程，即必須是：“充分且必要”條件，不能只是必要條件。

正解 令4a-2b=m（a+b）+n（a-b），易得m=1，n=3

1≤a-b≤2， 3≤3（a-b）≤6 （1） 又 2≤a+b≤4 （2）

（1）+（2）得 5≤4a≤-2b≤10

上述例題錯解在學生的解題中是經常可以見到的，這樣的例子很多。題目本身并未現“充分條件”或“必要條件”的字樣，但整個解題過程卻都要應用它進行思考，可見它的重要性。

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（作者單位：湖北省襄陽職業技術學院）