平面向量與三角形四心之“趣事”

向量是數形結合的載體，有方向，大小，雙重性，不能比較大小.在高中數學“平面向量”（必修4第二章）的學習中，一方面通過數形結合來研究向量的概念和運算；另一方面，又以向量為工具，運用數形結合思想解決數學問題和物理的相關問題.

在平面向量的應用中，用平面向量解決平面幾何問題時，首先將幾何問題中的幾何元素和幾何關系用向量表示，然后選擇適當的基向量，將相關向量表示為基向量的線性組合，把問題轉化為基向量的運算問題，最后將運算的結果再還原為幾何關系.

下面就以三角形的四心為出發點，應用向量相關知識以三角形兩邊作為基底線性表示“心”的位置，巧妙的解決了三角形四心所具備的一些特定的性質與物理學中的杠桿原理相結合總結出簡單的方法表示位置關系.既學習了三角形四心的一些特定性質，又體會了向量帶來的巧妙獨特的數學美感.

也可再進一步化簡.以上結論主要基于解三角形的知識來求出分的比例關系研究三角形的四個心，即給定三角形或與之相似的三角形四心為定值可以用向量唯一表示.

通過挖掘平面向量與三角形四星之間關系發現：可以利用邊長或角的關系線性表示向量之間的關系，通過“數”的關系建立了向量既有數又有形的關系，這真是數學最終追求的數形結合.不管在教學還是學習中應充分利用數與形的關系真正了解知識之間的可變通可轉化關系.