從商榷到深化

文[1]對2012年高考數學山東卷理科第16題的答案提出商榷，本文從這個商榷的失誤出發，談一個認識的深化.

1 關于商榷

2012年高考數學山東卷理科第16題是：

1.1 心理性錯誤心理性錯誤主要指解題主體由于某些心理原因而產生的解題錯誤.本例中，題目并沒有說OP是圓的切線，原答案求出（2 sin2 1 cos2）P？？，也沒有用到“切線”條件，這個“條件”是文[1]自己“默認”或“潛在假設”添加上去的，其添加的依據很可能是圖1的粗糙直觀：OP像是切線.由圖形的誘發、“默認OP為圓的切線”，這主要是心理性錯誤，而由此又導致知識性錯誤和邏輯性錯誤.

1.2 知識性錯誤

知識性錯誤主要指所涉及的內容不符合數學事實.把不是切線的OP誤為圓的切線，本身就是一個知識性錯誤，由這個假命題出發，文[1]推出了一系列的假命題，表現為一個個知識性錯誤.

表現1 由切線的性質得2OPOA==，但2OP =有知識性錯誤.

1.3 邏輯性錯誤

邏輯性錯誤主要指由于違反邏輯規則所產生的推理或論證上的錯誤.本例主要表現在兩個地方：

表現1 前提不真.上述知識性錯誤的種種表現，概源于“OP為切線”的潛在假設，由此出發得出的錯誤結論，不在于推理過程，而在于前提“OP為切線”失真，所以，這里的邏輯性錯誤在于“前提不真”.對錯誤的前提進行推理，當然就得出錯誤的結論了.

表現2 條件互相矛盾.眾所周知，給題目增添條件，有時只是降低了題目的難度，并不導致假命題，為什么本例會導出一個個知識性錯誤呢？我們說，“OA為切線且等于2”時，“OP一定不是切線，OP一定不等于2”，文[1]讓“2OA =”與“OP為切線”同時成立，本身就是互相矛盾的，對互相矛盾的條件進行有效推理，當然就得出錯誤的結論了.

2 一個深化

2.1 問題的提出

上面，我們就事論事地討論了文[1]的錯誤，要害是當2OA =時OP一定不是切線，那么，當2OA≠時，是否存在一點P，使OP是圓的切線呢？這是一個探究性的問題.

一般地，一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時，圓周上的一個定點P的軌跡叫做擺線，又叫做旋輪線.擺線有周期性，圖2（圓的半徑為r）顯示了其中一栱.擺線有廣泛的實際應用，在機械傳動中，有的齒輪的齒形線就是擺線的一部分.

上述探究性的問題是：擺線上是否存在一點P，使OP為滾動圓的切線？

2.2 問題的解決

例2 如圖2，在平面直角坐標系xoy中，一個半徑為r的圓的圓心的初始位置為（） 0 r，，此時圓上一點P的位置在（） 0 0，，當圓在x軸上滾動時，請問是否存在這樣的點P，使OP為滾動圓的切線？證明你的結論.

解 如圖2，設滾動中圓心移動到（）

C rt r，，

不失一般性，取0πt< <，

以上個人看法，盼批評指正.

參考文獻

[1]劉海龍.關于2 012年高考山東數學理科卷第16題答案的商榷.福建中學數學.2013（7/8）：12-13