從一道高考題看圓錐曲線的外切菱形的性質
2014-04-29 00:00:00蔡潤芳
福建中學數學 2014年1期
繼續研究發現，不論a如何變化，直線1xy+=均為橢圓E的切線，進而得出，四條直線1xy±=±的四個交點所構成的正方形恰好與橢圓外切.于是，若定義：四條邊均與橢圓相切的平行四邊形，稱為橢圓的外切平行四邊形；四條邊所在直線均與雙曲線相切的平行四邊形，稱為雙曲線的外切平行四邊形.則結論可推廣為如下定理：
（Ⅲ）橢圓的外切菱形的對角線在坐標軸上，邊故其外切正方形只有唯一一個.
（Ⅲ）雙曲線的外切菱形的對角線在坐標軸上，故其外切正方形只有唯一一個.
綜上，只有當BD在y軸上時，才使橢圓的外切平行四邊形ABCDN為菱形，即橢圓的外切菱形的對角線必在坐標軸上.因此當其為正方形時，四條邊所在直線的傾斜度必為45°或135°，即橢圓的外切正方形只有唯一一個，且為（Ⅱ）中所證之外切正方形.
定理1的結論得證，定理2的證明與以上類似.另外，焦點在y軸上的橢圓和雙曲線的外切菱形同樣有類似的性質，請讀者自行證明之.
對高考題的每一次深入研究，都能讓我們更深刻地認識數學的本質.數學教育者應當不懈追求，研究出更多更好的成果，不斷提升數學教育的高度，更好地教書育人.
參考文獻
[1]袁俊琍，熊光漢.橢圓的外切平行四邊形及其性質.中學數學月刊，2006（5）：26-28
