由一圓錐曲線命題聯想得到的新軌跡命題

本文提出了一個針對圓錐曲線的一個軌跡命題，并在該命題的基礎上進一步聯想提出了一個新的解析幾何命題，并對該命題的軌跡進行了較深入的探討.之后再進一步聯想又提出了兩個新的解析幾何命題.

先看如下關于圓錐曲線的軌跡命題.

命題1 不共線的三定點O A B，，所在直線OA AB OB，，，以O為圓心任作一圓與OA交于S，過S作OB的平行線，交AB于T，過T作某定直線的平行線交所作圓于M，求點M的軌跡方程.

很顯然當定直線不是y軸時點M的軌跡仍為圓錐曲線，隨著定直線的變化所得到的圓錐曲線也必將不斷變化.在上述命題中，過T平行于定直線的直線與所作對應圓的交點有時有兩個交點，有時有一個交點，有時沒有交點，其中若只有一個交點，則說明所作的過T平行于定直線的直線與所作對應圓相切，顯然這一點是所求的某一圓錐曲線的一個頂點.基于此得到啟示，我們提出如下軌跡命題.

命題2 不共線的三定點O， A， B所在直線OA， AB， OB，以O為圓心任作一圓與OA交于S，過S作OB的平行線，交AB于T，過T作所對應圓的切線，切點為M，求點M的軌跡方程.

我們對命題2的軌跡作如下探討和圓錐曲線類似，軌跡方程（1）形成的曲線的形狀與其中參數a， b， k的取值有關，下面我們就針對命題2中的M點軌跡作如下探討.

（2）當0a≠，0b≠且1k =時軌跡方程（※）表示的曲線為圖4所示的曲線.

（3）當0a≠，0b≠且1k <時軌跡方程（※）表示的曲線為閉合曲線，如圖5所示.

（4）當a =0，b≠0且A點為有限點，并且A點不在y軸時k值必然是小于1的正數此時軌跡方程（※）表示的曲線為閉合曲線，且該曲線關于y軸對稱，如圖6所示.

我們將軌跡方程（1）所形成的所有曲線統稱為“圓錐曲線的頂點集合曲線”.

順著提出命題2的思路不難得到如下兩個命題.

命題3 不共線的三定點O A B，，所在直線OA AB OB，，，以O為圓心任作一圓與OA交于S，過S作OB的平行線，交AB于T，連接OT的直線與所作圓相交于點M，求點M的軌跡方程.

命題4 不共線的三定點O A B，，所在直線OA AB OB，，，以O為圓心任作一圓與OA交于S，過S作OB的平行線，交AB于T，在所作圓上取一點M使得 TMa=（其中a為定值），求點M的軌跡方程.

由于篇幅的原因，關于命題1命題2軌跡的探討，這里我們就不再進行，必要時另文介紹，有興趣的讀者亦可對其進行較深入的研究，這也是筆者提出這兩個命題的原因之一.

從前面的內容可以看出，聯想是數學發展的源動力，它使數學變得豐富多彩，并能得到很多新的成果，甚至可以產生新的數學領域；在數學教學中，聯想還能使學生的思路開闊，興趣增強，能力提高；所以教師在數學教學過程中，在課本知識的基礎上適度進行聯想還是必要的.