自主招生考試數學解題“四意識”

高校自主招生考試數學試題材料鮮活，內容豐富，反映了高校對學生數學素養、數學能力的關注.試題有較好的甄別性和較高的區分度，對數學思想方法和思維策略的考查達到了相當高的層次.

這要求教師在解題教學時應著意提升學生的解題意識，改善學生過分依賴題型記憶、復制模仿的解題狀況，培養學生在新穎的習題情境前，能根據已有的數學經驗有意識地剖析問題，使數學解題過程成為思維品質不斷優化的過程.

1 轉換意識

解題需要套路.看到這道題，你的第一反應是什么？迅速生成常規方案，也即第一方案.

為什么要有套路？因為很多試題是基本的、穩定的，考查運算的敏捷性.沒有套路，就沒有速度.

問題是，當實施第一方案（套路）遇到障礙時，我們的策略是什么？

——轉換視角，生成第二方案.

轉換視角，轉換到哪里？

——轉換到知識豐富領域，也就是說把問題轉換到我們最熟悉的領域.

處理難題，從方法論的角度講就是轉換視角.常態方案不行，換一個方案行了；這種說法與思路不通，換一個說法通了；在一個領域內繁復的問題，換一個領域簡單了.

對于難度大、綜合性強的自主招生試題，更是如此！

如若不是這樣，靠什么考查能力？又憑什么說自主招生考試是一種針對優等生群體的選拔性考試呢？

2 構造意識

把轉換作為一種解題的策略和思想無疑是必要和合理的，它要求我們在求解難題時必須具備轉換意識，才能有效解決問題.

但是，轉換并不總是永遠暢通無阻的.正像走路一樣，我們要邁向目的地（結論），從起點（條件）出發，不斷地變換方向和路徑，從一處轉向另一處逐漸向結論靠攏，但有的地方卻無法過去，需要修筑道路，架設橋梁，這就需要構造.

3 簡解意識

同求解其他任何數學問題一樣，求解自主招生試題也應有或更應有“簡解”意識，即大題小做，小題簡做，盡可能使問題得到簡單解決.

在做每一道自主招生試題的時候，都不應該淺嘗輒止，而應深入探尋，力求簡潔.不妨多問問自己：這個方法好不好？有沒有更簡潔的方法？這樣做自己滿意了嗎…….久之則解題如行云流水，揮灑自如，贏得時間就贏得勝利！

如上述的例1，只要具有“簡解”意識，對待證不等式作一個簡單的放縮，不難得到如下簡潔證法，大大簡化了解題過程.

分析 本題求解按常規解法不僅分類麻煩且運算繁瑣.但若能根據“恒成立” 這條件找出a+ b的最大值并證明其存在性，則不難得到如下簡潔解法，大大簡化了解答過程.

無論①、②，由等差數列性質有

sincotcostanxxxx+=+.

4 逆證意識

由于自主招生試題寓綜合性和思想性于一體，難度大，正面求解往往無法奏效，這就需要我們具備“逆證”意識，即對問題進行逆向推理、矛盾論證，這也正是“正難則反” 的數學思想在解決數學難題中所起指導作用的具體體現.

例6 （2011年“北約”自主招生試題）是否存在四個正實數，它們兩兩乘積分別是2，3，5，6，10，16 ？

分析 本題也是一個存在探究性問題，直接求解很難，但若運用反證的方法進行逆向推理，矛盾論證，問題可輕松獲解.

解 假設存在這樣的四個正實數a b c d，，，滿足題意，選擇其一種搭配可得：

數學教學，不只是教會學生解題，更重要的是引導學生學會思考問題、發現問題的方法，才能切實有效地培養好學生解題的能力，提升學生的解題意識與思維.張奠宙、趙小平先生在《自主招生考試破除“命題八股化” 》中說得好：“當考題不拘一格地多樣化、百花齊放的時候，那些大搞傻練、死練者就會覺得得不償失.”此話意味深長，引人發聵.

（注：本文是福建省教育廳“2013年福建省中青年教師教育科研項目（社科B類）《基于考試的高三有效性復習研究》”的課題研究成果）