2013年“卓越聯盟”自主招生數學試卷評析

“卓越聯盟”由北京理工大學、重慶大學、大連理工大學、東南大學、哈爾濱工業大學、華南理工大學、天津大學、同濟大學、西北工業大學等九所以理工科為特色的國家“985工程”大學所組成.2013年12月22日，“卓越聯盟”發布了“2014年自主選拔錄取實施公告”，明確指出2014年九校將繼續聯合開展選拔錄取工作，選拔具有學科特長、創新潛質的優秀學生.而這其中最引起關注的莫過于“卓越聯盟”的筆試（學科基礎測試）將定于2014年3月1日進行，這意味著考試時間將與兩大聯盟“北約”、“華約”再一次撞車.

對于占據“半壁江山”的數學學科而言，三大聯盟的考查方式則顯得頗有些耐人尋味.“華約”不分文理科，“北約”文理僅一題不同，而“卓越”則相當于文理分科，同題一般不超過四題.本文將就2013年“卓越聯盟”自主招生數學試卷作相關評析，僅供廣大師生參考.

=+.再根

評析 本題主要考查三角函數圖象變換的相關知識，難度不大，考生平時若能扎實掌握基礎知識，解答此類題型應該是得心應手的.

題3 （理科）如圖，在A，B，C，D，E五個區域中栽種3種植物，要求同一區域只種1種植物，相鄰兩區域所種植物不同，則不同的栽種方案的總數為（ ）

A. 21 B. 24 C. 30 D. 48

解析 本題的區域較少，可作如下考慮：對于區域A有三種方案，對于B，E分兩種情況考慮：①B，E同色，此時有3 2 212××=種；②B，E不同色，此時有3 2 318××=種.故共有30種，答案為C.

評析 本題主要考查均值不等式的靈活運用.此類常用不等式的考查在自主招生考試中比較常見，要求考生對此方面知識有所拓展，并能夠掌握相關技巧.

評析 本題主要考查函數基本性質、導數等相關知識.考生需深刻挖掘題設條件，找出其中的提示性條件，并依此構造函數，結合函數性質進行解答.這對考生的能力提出了較高的要求，是一道綜合性較強的試題.

評析 本題文理本質上是同題（僅僅交換了條件與結論），主要考查平面向量工具的使用.熟練掌握三角形中的向量拆分技巧是解此類題型的關鍵，就此題而言，只需找到向量間的關系便可直接得出答案，避免了繁雜的計算，突出了向量的本質.

評析 本題考查重點是初中平面幾何的知識.善于在圓中挖掘出線段的關系和角的關系是破解此題的一大關鍵，但隨著平幾知識在高中的削減，解幾復習的盲目，這也正是考生日顯薄弱的一大能力.

評析 本題考查解三角形相關知識，屬于現行高中教材的公式要求范圍.其中，第一小題考查正弦定理和余弦定理的交匯應用；第二小題主要考查三角函數恒等變換公式.解題過程中滲透著化歸與轉化思想，對考生的基本計算能力有一定的要求.倘若考生對三角函數的積化和差公式有所了解，亦可用積化和差公式進行求解，過程將更加簡潔明了.由此可見，備考自主招生考試需關注的知識面更廣泛，數學能力要求更高.

評析 圓錐曲線中的定值問題是高考考查的重點.本題的三個小問層層遞進，從標準方程到特殊條件下的直線方程，再到探求一般情況下具有的共同特點.雖然較為常規，卻能拋開繁雜的計算和高難度的思維，通過對考生基礎知識、基本思想、基本能力的考查，將數學能力的考查落到實處.顯然，與高考中的圓錐曲線解答題相比，自主招生考試中的圓錐曲線并沒有“為難”考生.

得0yx<<，命題得證.

評析 通過構造函數，利用導數工具研究函數的單調性和函數的最值問題，儼然已成為高中數學中解決函數問題的基本方法.本題的第一小題，通過研究導函數的導數即二階導數來判斷導函數的符號，進而研究原函數的性質，可謂將導數法的運用發揮到了極致.在此基礎上，第二小題引入雙變量方程作為題設條件，考生需巧妙利用第一小題結論進行不等式的轉化，并從中構造出符合題意的函數，難度較大，對考生的思維能力提出了較高要求.

在數列與不等式交匯處巧命試題，利用不等式放縮進行求解，此類題型即使是在目前的高考壓軸題中也是較為少見的.但在自主招生考試中卻依舊考查，這體現的是作為理工科高校聯盟——“卓越聯盟”對考生數學能力的較高要求，彰顯的是自主招生考試的無限魅力.

評析 本題是對數列綜合應用進行考查的綜合性試題，關注數列的單調性判斷和（ 1）n？這一符號控制器，將文科生的考查落在數學的基本概念上.

2013年“卓越聯盟”自主招生的數學試題與往年相比增加了選擇題，減少了高等數學知識的考查，試題難度更加貼近高考.試卷覆蓋了函數、三角、數列、圓錐曲線、導數、向量和不等式等高中階段的主要知識點，基于高考，又高于高考.值得注意的是，試卷的第8題考查的是初中平面幾何知識，理12題考查的是二階導數應用，這折射出的是試卷既關注中學階段的銜接、也關注初等數學與高等數學的銜接.另一方面，由于“卓越聯盟”是由九所以理工科為特色的國家“985工程”大學所組成的，因而考試也相應地具有明顯的理工科特點——關注數學知識的應用能力.注重基本數學素養的考查，避免繁雜的計算和人為的高難度技巧，返璞歸真，凸顯數學本質，強調數學應用，充分體現高校選拔“具有學科特長、創新潛質”的優秀學生的要求.