結構化視角下小學數學知識內容及其學與教

【摘要】小學數學知識結構，是指小學數學四大內容領域中，“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”的各自內在關系與相互關系（內在結構），以及與其他學科和社會生活（實踐）之間的關系（外在結構）；“綜合與實踐”則應充分體現內在結構與外在結構的有機融合。學習結構是指上述知識結構尤其是其層次或主題甚至“單元”知識結構的學習軌跡。教學結構是指知識結構與相應學習結構之間的適配關系。小學數學教學應把握好其知識結構、學習結構和教學結構及其之間的結構關系。

【關鍵詞】小學數學；知識結構；學習結構；教學結構；結構關系

【中圖分類號】G623.5【文獻標志碼】A【文章編號】1005-6009（2022）33-0022-03

【作者簡介】徐文彬，南京師范大學（南京，210097）課程與教學研究所教授，博士生導師。

隨著小學數學教學研究的不斷深入與教學改革的不斷深化，人們對結構化視角的關注越來越凸顯。如結構化知識（別稱如核心知識、起點型核心知識、關鍵知識、大觀念、大概念等）、結構化教學、結構化學習等概念不斷涌現。但是，如何理解上述三大結構及其關系則有待進一步討論。本文即是對此的初步探討，期待由此引發更為系統而深刻的思考與研究。

沒有結構化的所謂知識其實就只能稱為信息，因此，小學數學教學應該以其知識結構為出發點。小學數學知識結構，是指小學數學四大內容領域中，“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”的各自內在關系及其相互關系（內在結構），以及與其他學科和社會生活（實踐）之間的關系（外在結構）；“綜合與實踐”則應充分體現內在結構與外在結構的有機融合。

僅就小學數學知識內容的整體而言，其知識結構可由圖1來宏觀地呈現。就小學數學四大內容領域各自的整體知識結構以及相關層次或主題甚至“單元”知識結構的建構而言，則還需更為系統地展開具體且細致的分析。

下面，筆者將結合蘇教版二下第七單元“角的初步認識”來探討小學數學知識結構及其相應的學習結構與教學結構及其關系。

依據數學課程標準，通過大量的教材分析與比較，以及對教學實踐的觀察、反思與改進，我們建構了如圖2所示的“角的初步認識”單元知識結構。

首先，“什么是角？”“如何比較角的大小？”“如何對角進行分類？”這三個問題構成了“角的初步認識”這一單元知識的內在結構（需要邏輯性分析）；其次，日常生活中能夠體現角的實物環境則可視為構成了其外在結構（需要適切性分析）；再次，上述內在結構和外在結構一起形成了“角的初步認識”這一單元的知識結構。此外，我們還建構了“角內”“角外”這一對“新概念”，旨在避免日常教學中學生經常出現的“角的大小與其兩邊的長短有關”這一錯誤認知。

學習結構是指上述知識結構尤其是其層次或主題甚至“單元”知識結構的學習軌跡。依據皮亞杰等人的心理學理論和布魯姆等人的教學理論，我們建構了如表1所示的“角的初步認識”單元知識結構的學習軌跡，即所謂的學習結構。

階段1是了解學生所學知識的前概念，教師的教學應該充分考慮到學生所學知識的前概念。階段2—4是第一課時學生學習軌跡的預設，階段5—7是第二課時學生學習軌跡的預設，階段7—8則是第三課時學生學習軌跡的預設。整體來看，每節課的學習軌跡都是相互關聯的，且貫穿于整個教學過程中。第一、二課時之間以“什么是角？”作為紐帶相互關聯，也為第三課時的應用反饋和拓展提升奠定了基礎；第三課時則是對第一、二課時的提煉和鞏固，有助于加深學生對知識的掌握和方法的運用。

教學結構則是指知識結構與相應學習結構之間的適配關系。依據我們所建構的“五環節”（單元）整體教學設計模式，我們認為，小學數學知識內容（知識結構）的課堂教學結構可以由以下四個模塊構成：情景導入、突出重點，提出問題、引發思考，合作探究、達成共識，應用反饋、拓展提升（即所謂的“問題解決導向式課堂教學模式”）。其中，“五環節”主要是指，（單元）整體教學設計應該漸次、疊加、系統地解決以下五個基本問題：（1）如何確立（單元）知識結構？（2）如何建構（單元）知識結構的學習軌跡？（3）如何把握（單元）知識結構整體教學的目標與重難點？（4）如何開展（單元）知識結構學習的教學評價？（5）如何組織和安排（單元）知識結構的學習活動？這五個基本問題的解決相應地構成了（單元）整體教學設計的五個基本環節。

依據安德森的教育目標分類法，我們將“角的初步認識”的教學目標確定為促使學生能夠：（1）了解角的構成要素，了解角內、角外的概念（學生需要對相關的基本要素或具體事實進行記憶，屬于記憶事實性知識），并能對不同角的大小進行比較（依據兩種角的大小比較方法來進行具體操作，屬于運用程序性知識）；（2）描述直角的特點，并能借助三角尺中的直角對角進行分類（“描述”和“分類”這兩個動詞都屬于理解的認知過程領域，利用直角對角進行分類則是建立在學生理解三類角之間的聯系基礎之上的，因而本目標屬于理解概念性知識范疇）；（3）能夠判斷并區分生活中的角和數學意義上的角，體會生活中角的多樣性和數學中角的單一性（生活中的角和數學上的角既有區別又有聯系，要區分和辨別這種關系，既需要分析概念性知識又需要理解概念性知識）。

其教學重點是：（1）角的構成要素；（2）角的大小比較的定性描述方法；（3）“0°～180°”范圍內角的分類。與此同時，教學難點可能是：（1）角的概念（從日常生活經驗中多樣、豐富的有關角的語義中抽象概括出數學中單一、簡單的角的含義）；（2）角的大小比較的定性描述方法。

就教學評價而言，（單元）整體教學之初可以考慮診斷性評價，以診斷學生對（單元）知識結構學習的整體“準備狀況”；最后則可以考慮終結性評價，以評估（單元）知識結構學習的教學成效；其間每節課的“課堂檢測”可視為該節課的總結性評價，亦應作為下節課的診斷性評價；而（單元）整體教學之初和最后之間的所有教學活動或評價活動都可以視為該（單元）整體教學的形成性評價。依據上述確定的教學目標、重難點，我們可以明確，單元檢測（終結性評價）中需要考查學生在記憶、理解、分析和運用這四大認知過程領域中的發展水平，相應的內容應涉及角的含義、角的大小、角的分類等三方面（包括事實性、概念性和程序性知識）內容。

至于（單元）知識結構學習活動的組織與安排，其整體思路應該按照什么是角（重在分離角的構成要素）、如何比較角的大小（重在定性比較方法）以及如何對角進行分類（重在借助直角進行分類）的順序展開，使學生在認識角的基礎上探究影響角的大小的因素，對角進行分類，從而建構（單元）知識結構。在具體教學過程中，教師應注重聯系學生的實際生活，運用活動教學，并關注觀察與操作之間的相互結合。

限于篇幅，關于“問題解決導向式課堂教學模式”的具體展開，想必讀者諸君也能依據上述論述自行管窺其貌，在此不再贅述。

[1]魏光明，王俊亮，劉正松，等.小學數學核心知識教學的理論與實踐[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

[2]古鐵雷斯，伯拉.數學教育心理學研究手冊：過去、現在與未來[M].徐文彬，喻平，孫玲，譯.桂林：廣西師范大學出版社，2009.

[3]安德森.學習、教學和評估的分類學[M].皮連生，譯.上海：華東師范大學出版社，2008.

[4]喬伊斯.教學模式：第8版[M].蘭英，譯.北京：中國人民大學出版社，2014.