一類Cookie—cutter—like測度的量子化維數(shù)

摘要：本文定義了齊次Cookie-Cutter-Like測度，它滿足強開集條件，并研究了它的一些性質(zhì)，最后證明了它與溫度函數(shù)之間的關(guān)系.

關(guān)鍵詞：量子化維數(shù)，Cookie-Cutter-Like測度.

1 相關(guān)概念與性質(zhì)

（1）r階量子化維數(shù)的定義：假設(shè)一個Rd上的Borel概率

測度μ，一個數(shù) ，一個自然數(shù) ，則測度μ的r階n維量子化誤差定義為：

，

其中d（x，a）表示點x到關(guān)于Rd上的一個給定范數(shù) 的集合α的距離.

定義 ，

如果 ，那么這個值就稱為μ的r階量子化維數(shù)，記做 .

（2）Cookie-cutter-like的定義：映φ射稱為Cookie-cutter-like映射，如果存在互不相交的閉區(qū)間構(gòu)成的有限集族

，使得：

①φ在每一個區(qū)間Ij的鄰域上有定義，并且

是滿射，相應(yīng)的逆映射表示為 .

②φ的微分D滿足Ho1der連續(xù).即存在正常數(shù)c，0

③φ在下述意義下是有界擴張的： ，

令 ， ，對 ，

，令 ，稱E為Cookie-Cutter-Like集.

（3）溫度函數(shù)定義：令 ，對給定的q， ，是一個關(guān)于t的連續(xù)函數(shù).則存在一個實數(shù)β，使得 .并且β是唯一的（單調(diào)性）.則β可以看成是q的一個函數(shù)：對每一個q都存在唯一的

使得 ，稱 為溫度函數(shù).

2定理（主要結(jié)論）令μ是Cookie-Cutter-Like集E上的測度， 是相應(yīng)的編碼空間上的Holder連續(xù)函數(shù).

是溫度函數(shù).對每一個 ，令qr：β（qr）=rqr.則概率測度μ的量子化維數(shù) .

為了證明該結(jié)論，需引進下列引理和性質(zhì)（文獻[1]、[2]）

引理2.1.令是確定的，則存在一個定數(shù) ，使得

性質(zhì)2.2.令 ，則 .

性質(zhì)2.3.令Cookie-Cutter-Like集滿足強開集條件，令

，令 ，則： .

3定理的證明：根據(jù)文獻[3]的性質(zhì)11.3我們知道：

（a） 如果 ，則 .

（b） 如果 ，則 .

根據(jù)（a）和性質(zhì)3.8.我們有當(dāng) 時 ，所以 .

根據(jù)（b）和性質(zhì)3.6我們有 .所以 ，

即 .

注意到 和β（qr）=rq，我們有 ，定理證畢.

參考文獻

[1] 江登英.關(guān)于類切餅集上測度的點態(tài)維數(shù).《湖北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）》2002年01期.

[2] M.Dai，X.Tan，Quantization dimension of random self-similar measures，J.Math.Anal.Appl.362（2010）471-475.

[3] S.Graf，H.Luschgy.Foundations of Quantization for Probability Distributions.Lecture Notes in Math.vol.1730.Springer.Berlin.2000.

（作者單位：江蘇省常州建設(shè)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校）