幾何畫板應用于數學實驗的常見類型

[摘 要]在當前中等職業學校教學中，數學實驗教學基本停留在研究的層面上，沒有深入師生和課堂。運用的是傳統教學模式，教學設計的中心仍是教材和教師。以幾何畫板為平臺的數學實驗教學，倡導以學生的學習為中心，對日常的中等職業學校數學教學實踐具有很大的意義。

[關鍵詞]幾何畫板；數學實驗；應用

數學有兩個側面，一方面數學是演繹科學，另一方面數學更像是一門實驗性的歸納科學。數學作為一門實驗性的科學，它對學生的思維能力和創新能力的培養遠比讓學生會解幾道題更為重要。但在目前中等職業學校的實際教學中，數學實驗更多地停留在教學研究的層面上，并未深入師生和課堂。在傳統教學模式中，教學內容往往是靜態的，在CAI模式應用的早期，也較多地采用“演示”的手段，這種教學設計的中心仍是教材和教師。以“幾何畫板”為平臺的數學實驗教學，應倡導以學生的學習為中心的教學模式。針對上述情形，作者結合日常的中等職業學校數學教學實踐，以數學軟件幾何畫板為平臺，探討數學實驗的四種常見類型：觀察型實驗、驗證性實驗、探索性實驗、解題性實驗。

一、觀察型實驗及案例

[案例1]：正弦型函數y=Asin（wx+？漬）的圖像及性質。

實驗環境：計算機機房，一人一機。

實驗過程：

（1）教師適當指導學生畫出函數y=Asin（wx+？漬）的圖像，主要由學生自己動手設置參數A、w、？漬拖動鼠標來觀察函數圖像的變化，特別注意的變化對圖像的影響。（如圖1-1）

（2）討論交流，學生獨立或分組討論A、w、？漬的變化對圖像的影響。

（3）在教師的指導下，得出正弦型函數y=Asin（wx+？漬）的圖像及性質的相關性質和結論。

（4）反思延伸，一是學生自己批改課前預習題的錯誤；二是啟發學生進行三角函數圖像的平移。如y=sinx通過怎樣的變換變為y=2sin（2x+■）。

這樣的數學實驗環境下的教學改變了傳統的教學方法，教學完全體現了學生的主體地位和教師的主導作用。學生在積極參與教學中，獲得的是真正的數學經驗，而不僅是數學結論，同時也培養了學生學習數學的熱情。

二、驗證性實驗及案例

[案例2]：兩個平面向量減法的數學實驗。

若則OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），則OA-OB=BA=（x1-x2，y1-y2）。這個結論看似簡單，但從筆者教學經驗看，大多數學生在學習的過程中是機械的記憶，特別是沒有理解向量減法的定義，這樣學生就不會靈活運用，造成學生學習中的障礙。

實驗環境：計算機機房，一人一機。

實驗步驟：

（1）在幾何畫板中作出向量OA，OB；并作出OB的反向量OB'；

（2）構造以OA，OB'為鄰邊的平行四邊行，構造OA，OB'所夾的對角線OC，此向量為OA，OB'兩個向量的和向量，也是OA，OB'向量的差向量。

（3）平移OC向量，觀察OC向量與BA向量的關系。

（4）移動A、B至任意點，驗證OA-OB=OC=BA這一結論；（如圖2-1）

（5）度量A、B、C三點的坐標，改變A、B的位置，進一步驗證OA-OB=BA=（x1-x2，y1-y2）。（如圖2-1）

驗證性實驗強調演示和證明的活動。數學學習過程中有許多公式，定理是前人研究得出的結論。這些內容中，有的難以理解或證明。針對這些內容，可以設計一些針對性的驗證性數學實驗，給學生提供了一個全新的學習數學的環境，讓學生親自動手做數學，從而在感性認識的基礎上，再進行理性認識。

三、探索性實驗及案例

[案例3]：雙曲線的定義數學實驗。

在雙曲線的定義教學中，筆者從多年的教學經驗中發現許多教師在教學中用折紙的方法的畫雙曲線，具體步驟是：

（1）首先準備一張紙，在紙上畫一個圓O，并在圓外取一點F。

（2）開始折紙，將圓周折起一角，使得圓周過F點。每一次折紙都有一條折痕，將這些折痕標記出來。（如圖3-1）

（3）反復進行不同的折紙，只要每一次讓圓周過F點就行。這樣你就可以得到一系列折痕，你會發現，這些折痕會呈現出一個雙曲線的輪廓。（如圖3-2）

這種折紙的數學實驗會帶來兩個疑問：一是從直觀上看，折紙的效果圖是雙曲線的一支，學生會誤認為是拋物線。二是從折紙的過程中，由于折紙的次數多，對點、線描述得不夠清晰，學生難以形成雙曲線的第一定義。

鑒于以上兩個問題，在教學中可以設計幾何畫板的數學實驗來模擬折紙實驗，來探求雙曲線的第一定義。實驗過程中引導學生將折紙的過程用幾何畫板展示出來。

實驗環境：計算機機房，一人一機。

實驗步驟：

（1）在幾何畫板軟件上畫一個圓F1和圓外一點F2；

（2）在圓上構造一點M，連接F2M，構造F2M的中垂線l（折紙實驗中的折痕）；（如圖3-3）

（3）依次選中點M和直線l，構造動畫，并追蹤l的軌跡；（如圖3-4）

在這個實驗中，整個實驗過程都是模擬傳統的數學折紙實驗，但效果顯然比傳統的折紙實驗好。從圖（3-4）可以看出，折出來的曲線是兩支，不是一支，不可能是拋物線，更重要的是，結合圖（3-3），曲線上的點P到兩個定點的距離F1、F2的距離差的絕對值是是定長|F1M|（定圓的半徑），即，|PF1PF2|=R<并且R|F1F2|。

這個實驗，在模擬折紙數學實驗的基礎上，學生在主動實驗中，親身感受了雙曲線的形成過程，從而深刻地理解了雙曲線的第一定義。

在數學教學中，特別是開放性教學中，符合條件的圖形或所求的結論往往是不唯一的。如何將錯誤的現象和結論排除掉，或將不清晰的數學現象、數學結論清晰明朗化，并最終進行嚴密的證明，形成正確的數學結論，傳統教學通常無法做到。利用幾何畫板軟件能較好地解決上述問題，它能顯示對象的“軌跡”，對動態對象的軌跡進行追蹤，使學生在實驗中看到軌跡形成的動態過程及軌跡變化的動態過程，為學生清楚地觀察數學現象，發現數學結論，探討數學問題創設了較好的實驗環境，從而激發學生的主體參與意識，利于學生探索正確的數學結論。

四、解題性實驗及案例

[案例4]：（2008年江蘇單招高考題）已知函數f（x）=lg（ax2+2ax+1）的定義域是全體實數，求實數a的取值范圍。

在實際教學中，對于類似的問題，筆者確實感覺到教學中的困難，通常同一類型的問題講解多次，學生還是會出現以下錯誤：一是不考慮a=0的情況；二是機械記二次方程或二次函數的判別式小于零；三是不會運用數形結合的思想。就這個問題而言，即要求出不等式ax2+2ax+1>0恒成立時，實數的取值范圍。引進數學實驗后，主要是引導學生畫出帶參數a的函數f（x）=ax2+2ax+1圖像，通過改變a的值，觀察圖像的變化。參數a的變化，帶來圖形的變化，如圖4-1至圖4-5。圖4-1至圖4-5反應了參數a由負數、零、正數遞增的變化的過程中，函數圖像的隨著參數a變化過程。學生通過動手實驗，改變參數，觀察動態函數的圖像，很容易全面地理解這個問題，從而正確地解答出來。

在教學中，數學教師培養學生的解題能力是教學中的重點和難點。對于一些復雜的、難以理解的問題，適當地引進以幾何畫板為平臺的數學實驗往往能幫助學生更深入地理解問題，從而提高學生的解題能力。數學中還有許多問題解決的難點是突破口難以發現，或解得的結果不完整，在教學中可以引入數學實驗，讓學生一邊做數學，一邊研究數學，而不僅僅是做題，從而提高學生的解題能力。

通過以上四類實驗，不難看出以幾何畫板為平臺的數學實驗教學引入數學課堂，對培養學生學習數學的興趣、增大教學信息量、拓寬認知途徑、改進概念教學、培養學生創新意識、訓練學生數學思維的能力和促進數學教學觀念的改變等諸多方面有積極的作用，從而最終改善數學課堂教學。

參考文獻

[1]謝云蓀，張志讓等.數學實驗[M].科學出版社，1999.

[2]殷 紅，李忠海.中學數學實驗的教學模式探討[J].數學教育學報，2001.

[3]黃新生.數學教學應重視數學實驗[J]教育探素，2004，（9）.

[4]曹一鳴.數學實驗教學模式探究[J].課程·教材·教法，2003，（1）.

[5][美]Go玻利亞.數學與猜想[M].北京：科技出版社，1984.

[6]王光生.例說數學實驗教學[J].中學數學教學參考，2001，（6）.

[7]鄭長發.數學實驗教學與素質教育[J].數學教師，1997，（4）.

[8]陳 靜.運用“幾何畫板”輔助高中數學教學的研究[D].武漢：華中師范大學，2008.

責任編輯 一 覺