例解導(dǎo)函數(shù)超越方程

導(dǎo)數(shù)在高考數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要地位，其中包括導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義，以及以導(dǎo)數(shù)為工具，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，而對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)恰恰是常見(jiàn)的導(dǎo)數(shù)載體。在這類函數(shù)問(wèn)題中求導(dǎo)根確定單調(diào)區(qū)間時(shí)，常常會(huì)遇到不能求出導(dǎo)根的問(wèn)題，俗稱超越方程不能正常求根，這是近年來(lái)的熱門考點(diǎn)，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。解決此類問(wèn)題，通常需要學(xué)生使用函數(shù)構(gòu)造法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖像，用二分法確定導(dǎo)根的范圍求解，滲透了分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想。

例1.（2014年南昌市一模卷） 如圖1所示，已知函數(shù)f（x）=ax-bxlnx，其圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1） ，且在點(diǎn)（e，f（e））處的切線斜率為3（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；（2）若k∈Z，且 對(duì)任意x>1恒成立，求k的最大值。

解：（1）∵f（1）=1，∴a=1。此時(shí)，f（x）=x-bxlnx，f'（x）=1-b（1+lnx）

依題意可知：f'（e）=1-b（1+lne）=3，所以，b=-1。

（2）由（1）可知：f（x）=x+xlnx，

當(dāng)x>1時(shí)，設(shè) ，則

設(shè)h（x）=x-2-lnx，則 ，

h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，因?yàn)閔（3）=1-ln3<0，h（4）=2-ln4>0，

所以，存在xo∈（3，4），使h（xo）=0。

當(dāng)x∈（1，xo）時(shí)，h（x）<0，g'（x）<0，即g（x）在（1，xo）上為減函數(shù)；同理，g（x）在（xo，+∞）上為增函數(shù)，g（x）的最小值為 ，所以k

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)函數(shù)方程 中，x-2-lnx

=0是對(duì)數(shù)和一次函數(shù)的超越方程，不能正常求解，只有通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，確定根所在的范圍，才能求解，其中體現(xiàn)了化歸的思想、分類討論的思想和數(shù)形結(jié)合的思想。

例2.（2013年全國(guó)新課標(biāo)卷）如圖2所示，已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）。（1）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）>0。

（1）解：f（x）=ex-ln（x+m） f'（0）=ex -

m=1，

定義域?yàn)椋?1，+∞）， 。

顯然，f（x）在（-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增。

（2）證明：令g（x）=ex-ln（x+2） ，所以h（x）是增函數(shù)，

h（x）=0至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，又

，

所以，h（x）=g'（x）=0的唯一實(shí)根在區(qū)間（- ，0 ）內(nèi)。

設(shè)g'（x）=0的根為t，則有g(shù)'（t）=et- ，（-

<0），所以et= t+2=e-t，

當(dāng)x∈（-2，t）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（t，+∞）時(shí)， g（x）單調(diào)遞增，所以，g（x）min=g（t）=et-ln（t+2）= + t=

>0。

當(dāng)m≤2時(shí)，有l(wèi)n（x+m）≤ln（x+2），

所以，f（x）=ex-ln（x+m）≥ex-ln（x+2）=g（x）≥g（x）min>0。

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)函數(shù)方程g'（x）=ex- =0 是指數(shù)函數(shù)和復(fù)合反比例函數(shù)的超越方程，不能正常求解，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像交點(diǎn)，根據(jù)單調(diào)性利用二分法確定根所在的范圍才能求解，體現(xiàn)出函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想。

（作者單位：江西省南昌市鐵路第一中學(xué)）