把握核心 明晰概念

一、 定義與命題

1. 定義

對名稱或術語的含義進行描述或做出規定，就是給出它們的定義.

【明晰】①必須嚴密，通常定義中有“是”“叫”“稱為”等判斷詞，不能使用“一些”“大概”“差不多”等含糊不清的詞語；②一般不用否定判斷.

如：“兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離”就屬于下定義.

2. 命題

（1） 對某一件事情做出判斷的句子叫做命題.

【明晰】判斷是否是命題要注意兩點：①是否是完整的句子；②是否做出肯定或否定的判斷. 一般說來命題是帶有肯定或否定語氣的完整的陳述語句，疑問句、感嘆句、祈使句等都不是命題.

如：“連接A、B兩點.”“對角線相等嗎？”就不是命題. “在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線”就是命題.

（2） 在數學中命題一般由條件和結論兩部分組成.

【明晰】①有些命題呈現出“如果……那么……”的形式，此時“如果”后面的語句就是條件，“那么”后面的語句就是結論.

如命題：“如果a-b>0，那么a>b. ”條件是a-b>0，結論是a>b.

②有些命題則需要改寫成“如果……那么……”的形式后才能寫出條件和結論.

如命題：“鄰補角互補”. 先改寫為“如果兩個角是鄰補角，那么這兩個角互補”，然后可寫出條件“兩個角是鄰補角”，結論為“這兩個角互補”.

（3） 命題有真、假之分：如果條件成立，那么結論成立，這樣的命題叫真命題；如果條件成立，結論不一定成立，這樣的命題叫做假命題.

【明晰】辨別一個命題真假的方法：①實際生活問題，實踐是檢驗真理的唯一標準；②數學中判定一個命題是真命題，要經過推理；③要判斷一個命題是假命題，只需要一個反例即可.

如：判斷下列命題的真、假.

二、 證明

1. 事件的判斷

觀察、操作、實驗是人們認識事物的重要手段，通過觀察、操作、實驗得到的結論常常是正確的，但是僅憑觀察、操作、實驗得到的結論有時是不深入的、不全面的，甚至是錯誤的.

【明晰】①觀察是對客觀事物所進行的一種查看體驗活動，簡單講就是用眼睛采訪；②操作是指人用手活動的一種行為，也是一種技能；③實驗是科學研究的基本方法之一，根據科學研究的目的，盡可能地排除外界的影響，突出主要因素并利用一些專門的儀器設備，人為地變革、控制或模擬研究對象，使某一些事物（或過程）發生或再現，從而去認識自然現象、自然性質、自然規律. “紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.” 檢驗數學結論的常用方法有如下三種：實驗驗證、舉出反例、推理等.

如：圖1中的四邊形受同心圓的影響，容易把四邊形的邊看成是彎曲的，所以認為它不是正方形，但是可以借助于三角板等工具實際測量比較發現它是一個正方形.

再如：用一根比地球赤道長1 m的鐵絲將赤道圍起來，那么鐵絲與地球赤道之間的間隙有多大？能放進一顆紅棗嗎？能放進一個拳頭嗎？

【解析】設赤道周長為C，則鐵絲與赤道之間的間隙為-=≈0.16（m）. 這樣的間隙既能放進一顆紅棗，也能放進一個拳頭.

2. 證明與定理

（1） 根據已知的真命題，確定某個命題真實性的過程叫做證明.

【明晰】①證明是說明真命題的說理過程，證明過程必須做到言必有據. 證明過程通常包含幾個推理過程，每個推理應包括因、果和由因得果的依據. 其中，“因”是已知事項；“果”是推得的結論；“由因得果的依據”是基本事實、定義、已學過的定理以及等式性質、不等式性質等. ②證明過程的基本結構是：“∵……（ ），∴……（ ）. ”其中“∵”后面寫推理的因，“∴”后面寫推理的果，“（ ）”里面寫出條件的由來或由因到果的依據理由. 由此可見，每一步推理應包括“因”“果”“理由”三部分，而且因果關系必須合理. 證明過程就是由這一步步“推理”構成的. ③推理的表述形式有三種：一因一果型；一因多果型；多因一果型. 特別是多因一果型，必須要多“因”齊全才能得出“果”. 證明就是找“果”“因”之間的“邏輯鏈”，一要言必有據，二要書寫規范.

（2） 經過證明的真命題稱為定理.

【明晰】定理一定是真命題，但真命題不一定都是定理. 定理是在研究中覺得比較重要和常用的結果，授予它定理的地位. 一般來說課本上以黑體字形式出現的文字表述都是定理.

3. 證明與圖形有關的命題的一般步驟

（1） 根據題意，畫出圖形；

（2） 根據命題的條件、結論，結合圖形，寫出已知、求證；

（3） 寫出證明過程.

【明晰】①畫出與命題有關的圖形時，把求證的內容在圖上標上符號. 還要根據證明的需要，在圖上標出必要的字母或符號，以便于敘述或推理過程的表述. ②已知部分是已知事項，即把命題的題設轉化為幾何符號語言寫在已知中；求證部分是論證的事項，即把命題的結論轉化為符號語言寫在求證中.

4. 定理的推論

由一個定理直接推出的正確結論，叫做這個定理的推論.

【明晰】定理的推論和定理一樣可以作為進一步證明的依據.

如：三角形內角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

它為證明一角等于兩角的和提供了重要依據.

5. 證明思路的分析方法

為了尋找正確的證題方法或途徑，我們可以先設想它的結論是正確的，然后追究它成立的原因，再就這些原因分別研究，看它們的成立又各需具備什么條件，如此逐步往上逆求，直至達到已知的事實，這樣一種思維方法就叫做逆向分析，可簡單地概括為“執果索因”，即“拿著結果去尋找原因”.

若要證明命題：“若A成立，則D成立. ”用逆向分析思考時，其思路可如圖3所示：（從下往上看）從結論開始，即從D開始往上尋求其成立的條件，假設C、C1、C2都能使D成立，再尋求有什么條件能使C、C1、C2成立，設B、B1能使C成立，B2能使C1成立，B3、B4能使C2成立，這一切原因，固然都可使D成立，但究竟哪個是題設A的結果呢？檢查之后，設發現B是，這樣就由未知的D上溯到已知的A，因而就獲得了證明的思路：D←C←B←A，即D可由C得出，C又可由B得出，B又可由已知的A得出，至此命題得證.

證明一個命題的正確時，我們先從已知的條件出發，通過一系列已確立的命題（如定義、定理等），逐步向前推演，最后推得要證明的結果，這種思維方法叫做順向綜合，可簡單地概括為：“由因導果”，即“由原因去推導結果”.

用順向綜合思考上述命題時，其思路可由圖4所示：從已知條件開始，故從A開始推演，尋找可以到達D的思路，但由A所得的結果往往不止一個，可能有好多個. 設B、B1、B2都是A的結果，同樣由B、B1、B2又可得好多結果，設由B可得C、C1，B1可得C2，B2可得C3、C4，在這些C中，只要有一個能得出D即可，思考至此便可得到：A→B→C→D這個證明思路了. 若C中還沒有一個能得出D的，可如上一樣，再往下尋求，直至能推理得出D為止.

兩者的優缺點是：在思考上逆向分析優于順向綜合，在表達上逆向分析不如順向綜合；逆向分析利于思考，順向綜合宜于表述，在解決問題中，最好合并使用；對于一個新問題，一般先用逆向分析尋求解決，然后用順向綜合有條理地表述出來.

有道是：由因導果叫綜合，執果索因是分析，綜合分析齊出場，兩頭湊法最受益.

三、 互逆命題

1. 互逆命題

在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題. 其中一個命題是另一個命題的逆命題.

【明晰】①互逆命題不是指一個命題，而是指兩個命題之間的一種關系，它和互為倒數、互為相反數、互為余角、互為補角這些含義類似；②原命題與逆命題是相對的，互逆命題是指兩個命題之間的某種關系，這種關系體現在條件與結論的相互交換上；③每個命題都可以將它的條件和結論互換得到它的逆命題，因而每個命題都有逆命題；④每個命題都有逆命題，但原命題正確，它的逆命題卻不一定正確，原命題錯誤，逆命題不一定錯誤.

如：請寫出“等腰三角形兩腰上的高相等”的逆命題.

【解析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題. 命題的條件是“一個三角形是等腰三角形”，結論是“兩腰上的高相等”. 將條件和結論互換時，需注意腰是等腰三角形特有的，應將“兩腰上的高相等”換為“兩邊上的高相等”. 將條件和結論互換得逆命題為：如果一個三角形兩邊上的高相等，那么這個三角形是等腰三角形.

2. 舉反例

舉出一個符合命題的條件，但命題結論不成立的例子來說明命題是假命題的例子叫做反例

【明晰】反例的列舉必須符合條件，舉反例時，可以用文字語言來表述，也可以用數據來說明，還可以用圖形來表示.

如命題“任何角都小于其補角”的反例是“令∠A=130°，則∠A的補角∠B為50°，而∠A>∠B”.

3. 互逆命題的真假性

有些互逆命題均為真命題，如“直角三角形的兩個銳角互余”和“有兩個角互余的三角形是直角三角形”；有些互逆命題一真一假，如“如果a>1，那么a2>1”和“如果a2>1，那么a>1”； 有些互逆命題均為假命題，如“銳角與鈍角互為補角”.

（作者單位：江蘇省無錫市江南中學）