代數學的產生

在古代，當算術里積累了大量的關于各種數量問題的解法后，為了尋求有系統的、更普遍的方法，以解決各種數量關系的問題，就產生了以解方程的原理為中心問題的初等代數.

代數是由算術演變來的，這是毫無疑問的. 至于什么年代產生的代數學這門學科，就很不容易說清楚了. 比如，如果你認為“代數學”是指解bx+k=0這類用符號表示的方程的技巧， 那么，這種“代數學”是在16世紀才發展起來的.

如果我們對代數符號不是要求像現在這樣簡練，那么，代數學的產生可上溯到更早的年代. 西方人將公元前3世紀古希臘數學家丟番圖看作是代數學的鼻祖. 而在中國，用文字來表達的代數問題出現得就更早了. 秦漢時期，天文歷法有了較大的發展，為了編制歷法，當時的中國數學家就已經知道了一些方程的解法. 約公元50年成書的《九章算術》，是中國流傳至今最古老的一部數學專著. 在這本書中已經使用了“方程”這個名詞，并且出現了解一元一次方程和一元二次方程等許多代數問題. 之后，東漢末年至三國時代的趙爽研究了二次方程的求根問題，他還研究了根與系數的關系，得到了和一元二次方程的求根公式以及與“韋達定理”相似的結果.南北朝時期的數學家張丘建在《張丘建算經》一書中給出了一個用文字寫出的方程. 在以后的各個朝代中，中國數學家對方程的研究都有過重要貢獻，例如唐朝王孝通、張遂，北宋時期的賈憲、劉益，南宋時期的秦九韶等，他們對方程的解法或有所改進，或有所創新.

但是，如何去表示一個方程卻一直是個難題，因為用字母代替未知數，用符號表示代數式這種方法自創立至今也不過400年的歷史. 在這之前都是用文字敘述的，為了簡明地列出方程，古人們想了許多改進辦法. 公元11世紀至12世紀，中國產生了“天元術”，公元13世紀數學家李冶將其整理、簡化. 李冶的天元術中，先“立天元為一某某”就是設未知數，然后根據問題的條件列出天元式，在未知量的一次項旁邊記一“元”字，在常數項旁記一“太”字，并按高次冪在上低次冪在下排列，還可將兩個天元式相減進行“同數相消”. 天元術已有現代列方程記法的雛形，現代史學家稱它為半符號代數. 用“元”代表未知數的說法，一直沿用到現在.

公元820年左右，阿拉伯數學家花拉子模從印度回國后著《代數學》一書. 該書提出的方程論被規定為代數學的研究對象，方程的概念也明確起來，書中第一次明確提出了二次方程的一般解法，同時，還提出了“移項”、“合并同類項”等方法. 以后，方程的解法被作為代數的基本特征長期保留下來. 從此，誕生了花拉子模的代數學.

“代數”作為一個數學專有名詞、代表一門數學分支在我國正式使用，最早是在1859年. 那年，清代數學家李善蘭和英國人韋列亞力共同翻譯了英國人德摩根所寫的一本書，譯本的名稱就叫做《代數學》. 當然，代數的內容和方法，我國古代早就產生了，比如前面提到的《九章算術》中就有方程問題.

初等代數的中心內容是解方程，因而長期以來都把代數學理解成方程的科學，數學家們也把主要精力集中在方程的研究上，研究方法是高度計算性的.

要討論方程，首先遇到的一個問題是如何把實際中的數量關系組成代數式，然后根據等量關系列出方程. 所以初等代數的一個重要內容就是代數式. 由于事物中的數量關系的不同，大體上初等代數形成了整式、分式和根式這三大類代數式. 代數式是數的化身，因而在代數中，它們都可以進行四則運算，服從基本運算定律，而且還可以進行乘方和開方兩種新的運算. 通常把這六種運算叫做代數運算，以區別于只包含四種運算的算術運算.

在初等代數的產生和發展的過程中，解方程的研究，也促進了數的概念的進一步發展，將算術中討論的整數和分數的概念擴充到有理數的范圍，使數包括正負整數、正負分數和零. 這是初等代數的又一重要內容，即數的概念的擴充.

有了有理數，初等代數能解決的問題就大大擴充了. 但是，有些方程在有理數范圍內仍然沒有解. 于是，數的概念再一次擴充到了實數，進而又擴充到了復數.

那么到了復數范圍內是不是仍然有方程沒有解，還必須把復數再進行擴展呢？數學家們說：不用了. 這就是代數里的一個著名的定理——代數基本定理. 這個定理簡單地說就是n次方程有n個根. 1742年12月15日瑞士數學家歐拉曾在一封信中明確地做了陳述，后來德國數學家高斯在1799年給出了嚴格的證明.

（作者單位：江蘇省南京市第五十中學）