例析“用字母表示數”中的數學思想方法

數學學習的根本在于透徹理解普遍的原理，并在以后的學習、生活乃至工作實踐中加以運用，這些原理方法就是數學思想方法. 《用字母表示數》這一學習內容除了有同學們熟悉的“用字母表示數”、“從特殊到一般、一般到特殊”、“數形結合”、“分類討論”、“轉化的思想方法”、“歸納的思想方法”外，還蘊含以下三種數學思想，現結合具體問題加以分析.

一、 符號化思想

引入字母表示數，是從算術進入代數的重要標志之一，正確理解用字母表示數的意義，是學好數學基礎知識的基本要求，也是認識上的一個轉折點.

問題1 撲克牌游戲中，小明背對小亮，讓小亮按下列四個步驟操作：

第一步：分發左、中、右三堆牌，每堆牌不少于兩張，且各堆牌的張數相同；

第二步：從左邊一堆拿出兩張，放入中間一堆；

第三步：從右邊一堆拿出一張，放入中間一堆；

第四步：左邊一堆有幾張牌，就從中間一堆拿幾張牌放入左邊一堆.

這時，小明能準確說出中間一堆牌現有的張數，你能揭開其中的奧秘嗎？

【分析】本題中的每一步其實都是數量關系的變化，為了看清這個變化，我們可用符號化的思想，以“用字母代替數”的方法來揭開小明獲勝的奧秘.

設原來的每堆牌有x張，上述問題可通過列表得到：

從表中可以看出中間一堆現有的張數為（x+2+1）-（x-2）=5. 這個結果與小亮第一步分發的各堆牌的張數無關，所以不管小亮第一步發多少牌，按照小明的游戲規則，小明都能獲勝，這就是知識的力量，這更是數學思想的力量.

二、 “變量”與“常量”的思想

“變量”與“常量”的思想是指在一變化的過程中，提煉出一些“變量”與“常量”，用“變量”與“常量”的思想從幾個簡單的、個別的、特殊的情況去研究、探索、歸納出一般的規律和性質.

問題2 如圖1，搭1條小魚需要8根火柴，每多搭1條小魚就要增加6根火柴，那么搭n條小魚所需火柴的根數s有何規律？

【分析】用火柴棒搭小魚是同學們較為熟悉而且有趣的一個情境，在小學已經接觸過該問題，在“蘇科版”七（上）第三章“用字母表示數”的“章頭圖”中再次出現，解決該問題有多種方法. 其中，應用“常量”與“變量”的思想來研究該問題就是一種很好的方法. 在這個變化過程中，盡管火柴棒的總根數隨著小魚條數的變化而變化，但是，小魚的“魚尾”部分所需的火柴根數“2”沒變，因此它是常量；而小魚的條數n、所需火柴的根數s是變量，在此基礎上可得到，每增加一個“魚身”，就需要6根火柴，則搭n條小魚所需火柴的根數s為：s=6n+2. 事實上運用“常量”與“變量”的思想，是解決在圖形中尋求規律問題的通性通法，用這種方法去解決問題，能使我們看清問題的本質.

三、 整體思想

所謂整體思想，就是解決某些數學問題時，不是“一葉障目”，而是有意識地放大考慮問題的“視角”，從大處著眼，由整體入手，通過細心觀察和深入分析，找出整體與局部之間的聯系，從而在宏觀上尋求解決問題的途徑.

例如，在整式的加減運算或求代數式的值時，若將注意力和著眼點放在問題的整體結構上，把一些聯系較為緊密的代數式作為一個整體來處理，常常能收到事半功倍之效.

問題3 若代數式x2+x+3的值為7，則代數式2x2+2x-3的值為多少？

【分析】如果由條件先求出x的值，再代入2x2+2x-3中計算，對于七年級的同學來說，那是不可能的，即無法進行運算. 如果我們能從題目大局出發，由條件x2+x+3=7，得到x2+x=4，再將x2+x=4代入2x2+2x-3求值，將會十分便捷. 即2x2+2x-3=2（x2+x）-3=2×4-3=5. 上述將x2+x作為一個整體代入求值的方法，就是通常所說的用整體思想解決問題的思維策略.

以上對三種數學思想方法作了探討分析，希望能幫助同學們認識數學的本質，并發展數學思考的能力.

（作者單位：江蘇省南京市寧海中學分校）