感悟“有理數”中的數學思想方法

掌握數學思想方法可以使數學知識更易于理解和記憶，更重要的是，領會數學思想方法有助于形成知識遷移. 下面結合具體例題，幫助同學們梳理《有理數》這一章中常見的思想方法.

一、 抽象思想

讓我們以數軸為例來幫助同學們感受“抽象”.

如圖1，溫度計對大家來說都很熟悉.

我們很容易將“溫度計”進一步抽象，用一條直線上的點表示數，這條直線叫做數軸（如圖2）.

由此可知，數軸是一條特殊的直線，注意，它還要滿足以下要求：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可.

畫數軸的技術處理：

（1） 畫直線、定原點：通常原點選在直線中間，若問題中負數的個數較多時，原點選得靠右些；正數的個數較多時，原點選得靠左些.

（2） 定方向：通常取原點向右的方向為正方向.

（3） 定單位長度：選取適當的長度（如0.5 cm）為單位長度，若要在數軸上表示0.000 1和-0.000 4，則可取一個單位長度為0.000 1；在數軸上表示3 000與-4 000，則可規定一個單位長度為1 000.

（4） 標數：在數軸上依次標出1，2，3，4，

-1，-2，-3，-4等各點.

二、 轉化思想

所謂轉化思想，就是將所要解決的問題轉化為另一個較容易解決的問題或已經解決的問題. 具體地說，就是把“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”轉化為“已知”，把“復雜”問題轉化為“簡單”問題.

有理數的各種運算須先確定符號再計算絕對值，而符號確定以后，絕對值的計算就是小學已經學過的問題. 例如：計算-2+3= +（3-2）；（-3）×2×（-4）×

-=-

3×2×4×. 這里“3-2”和“3×2×4×”就是小學學過的減法和乘法運算.

再比如，有理數的減法運算可轉化為加法運算，除法運算可轉化為乘法運算. 這就是說，有理數運算的關鍵是熟練掌握運算法則，準確地確定符號，有理數運算的實質是運用法則將其轉化為小學學過的加、減、乘、除運算. 更徹底一點說，所有運算追根究底都是加法運算，而加法的本質是自然數的性質（逐次加1，即1+1=2，2+1=3，……）.

三、 分類討論

在《有理數》一章中研究相反數、絕對值、有理數乘方運算的符號法則等，都是將有理數分成正數、負數、零三類分別研究的. 分類必須遵循下列兩條原則：（1） 每一次分類要按照同一標準進行；（2） 分類要做到不重復、不遺漏. 例如，把有理數分為正數和負數兩類就錯了，錯誤原因是漏掉了零. 再如：

若a，b均為整數，且滿足a=5，b=3，求a+b的值.

在這個問題中，根據絕對值的定義，a可取兩個值±5，b也可取兩個值±3. a=5時，b可以是±3，同理a=-5時，b也可以是 ±3，所以共有四種情況：

當a=5，b=3時，a+b=8；

當a=5，b=-3時，a+b=2；

當a=-5，b=3時，a+b=-2；

當a=-5，b=-3時，a+b=-8.

（作者單位：江蘇省海門市東洲中學）