遞推數列通項公式的解題技巧與方法

梁桂友

從近年高考來看，可以知道數列的考查占高中數學的分量比較大，也是區別尖子生的重要分界線.非常規數列，也就是指非等比、等差數列，在求通項公式方面，題型比較多，方法與技巧也比較多，很多考生往往因為這一點，而產生畏懼和退縮的心理.可是，只要我們仔細分析，即使它的題型變化大，解題方法思路也多元化，但都有章可循.在此，就以求遞推數列通項公式作為例子，對一些方法與技巧進行剖析.只想能通過這些解題的方法與技巧的分析，達到觸類旁通的作用，讓學生從中學會分析題型，把握題型的解題思路和技巧，尋求最佳的解答思路，形成較強的解題能力、獨特的解題思路，提高高考總復習的效率.

一、累加法求通項公式

固定模式： an+1-an=f（n）（n=2，3，4，…），并且f（1）+ f（2）+…+f（n-1）可以求出，那么就可以用累加法求an，假如不能直接使用該方法，那么就通過變形，轉化成這種形式，再用這種方法進一步求解.

例1 已知數列{an}滿足an+1=an+2n+1，a1=1，求數列{an}的通項公式.

解題技巧與方法 由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1，于是：

a1=1

a2-a1=3

a3-a2=5

……

an-1-an-2=2n-3

an-an-1=2n-1

以上n個式子相加即得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1，即可得到通項公式.

最關鍵技巧 把遞推關系式an+1=an+2n+1轉化為an+1-an=2n+1，進而求出（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1，即得數列的通項公式.

二、累乘法求通項公式

固定模式： anan-1=f（n）（n=2，3，4，…），并且f（1）+ f（2）+…+f（n-1）可以求出，則用累乘法求an，假如不能直接使用該方法，那么就通過變形，轉化成這種形式，再用這種方法進一步求解.

例2 （2012全國卷文數18題）已知數列{an}中，a1=3，前n項和Sn=n+23an.（1）求a2，a3；（2）求{an}的通項公式.

解題思路 （1）比較容易.（2）關鍵由an=Sn-Sn-1整理出an=n+1n-1an-1，于是a1=3，a2=31a1，a3=42a2，…，an-1=nn-2an-2，an=n+1n-1an-1.將以上n個等式兩端分別相乘，整理就可得an=n（n+1）2.

三、待定系數法求通項公式

例3 已知數列{an}滿足an+1=2an+3·5n，a1=6，求數列{an}的通項公式.

最關鍵技巧 本題目的關鍵技巧是把遞推關系式an+1=2an+3·5n化為an+1-5n+1=2（an-5n）形式，因此，容易得知新數列{an-5n}是等比數列！剩下的只要求出數列{an-5n}的通項公式，就可以解出數列{an}的通項公式an=2n-1+5n.

四、用迭代法求通項公式

例4 已知數列{an}滿足an+1=a3（n+1）2nn，a1=5，求數列{an}的通項公式.

最關鍵技巧 由an+1=a3（n+1）2nn，由迭代法，可以得到

an=a3n·2n-1n-1=[a3（n-1）·2n-2n-2]3n·2n-1=…=a3n-1·2·3·…·（n-2）·（n-1）·n·21+2+…+（n-3）+（n-2）+（n-1）1=a3n-1·n！·2n（n-1）21.

又根據已知a1=5即可以求出數列{an}的通項公式為an=53n-1·n！·2n（n-1）2.

五、構造等比數列法求通項公式

例5 已知數列{an}滿足an+1=2an+3·2n，a1=2，求數列{an}的通項公式.

最關鍵技巧 an+1=2an+3·2n兩邊除以2n+1，得an+12n+1=an2n+32，則an+12n+1-an2n=32，因此數列an2n是以a121=22=1為首項，以32為公差的等差數列.

最關鍵策略 由遞推關系式an+1=2an+3·2n轉化為an+12n+1-an2n=32，可推出數列an2n是等差數列，能否把握這個轉化過程，是解決這類題目的關鍵所在！最后，再利用等差數列的通項公式求出an2n=1+（n-1）32，求出數列{an}的通項公式an=32n-122n即可.

誠然，在高中數學求解數列的通項公式題型是比較多樣化的，因此，求解遞推數列的通項公式的方法也很變幻莫測，正因如此，求遞推數列的通項公式這類題型成為了歷年高考命題中熱點考查對象.但是，只要我們善于發現問題，仔細分析，都可以通過具體的解題技巧將問題轉化為較為固定的解題模式，逐步形成一種獨特的解題技能，轉化為等差數列或等比數列問題加以解決.