巧用基本不等式變形解高考題

陳日斌

【摘要】必修5的基本不等式能否解決選修4-5中的不等式的問題呢？高考中的不等式真的就只能用選修中的不等式解嗎？

【關鍵詞】不等式；高考；變形

基本不等式是學生熟透的一個公式，但用得不多.其常用形式如下：

形式1：已知a，b∈R，那么a2+b2≥2ab.形式2： 已知a，b∈R+，那么a+b2≥ab.

對上述兩種形式，學生基本上沒問題，但用于解高考題好像很困難，是不是真的要學完4-5才能解決呢？其實不盡然，只要對上述不等式再變形一下就能解高考題了.下面我們來看看幾種常用變形：

變形1：已知b>0，那么a2b≥2a-b 如果a>0，那么b2a≥2b-a.

變形2：已知a>0，那么ab2≥2b-1a.

變形3： 已知b>0，那么a2b≥a-b4.

變形4：已知a，b∈R+，那么a3b≥2a2-b2或b3a≥2b2-a2.

下面我們就來看看變形1在高考和高考模擬考試中的運用.

例1 （2010年蘇北四市一模）若正數滿足a+b+c=1，求93a+2+93b+2+93c+2的最小值.

解 ∵93a+2≥6-（3a+2），93b+2≥6-（3b+2），93c+2≥6-（3c+2），

∴93a+2+93b+2+93c+2≥3×6-（3a+2）-（3b+2）-（3c+2）=18-（3a+3b+3c+6）=9 （當且僅當a=b=c=13時，取等號）.

∴93a+2+93b+2+93c+2的最小值為9.

（注：本題給出的參考答案是用柯西不等式求解）

例2 （2009年江蘇高考）設a≥b>0，求證：3a3+2b3≥3a2b+2ab2.

證明 ∵a2b≥2a-b， b2a≥2b-a，

∴3a2b+2b2a≥3（2a-b）+2（2b-a）=4a+b≥3a+2b.

兩邊同乘ab得：3a3+2b3≥3a2b+2ab2（當且僅當a=b時，取等號）.

例3 （2010年蘇錫常二模）設x，y，z滿足x+y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值.

解 ∵x21≥2x-1，y21≥2y-1，z22≥2z-2，

∴x2+y2+z2≥2x-1+2y-1+4z-4=（2x+2y+4z）-6=6（當且僅當x=y=1，z=2 時，取等號）.

∴x2+y2+z2的最小值為6.

（注：本題給出的參考答案是用柯西不等式求解）

例4 （2013年江蘇高考）已知a≥b>0，求證：2a3-b3≥2ab2-a2b.

證明 ∵a≥b>0，∴a2b≥b2a.∴2a2b≥b2a+b2a.

∴2a2b-b2a≥b2a.

由變形1知：2a2b-b2a≥2b-a.

兩邊同乘ab得：2a3-b3≥2ab2-a2b （當且僅當a=b時，取等號）.

例5 （2010年江蘇高考）設a，b是非負數，求證：a3+b3≥ab（a2+b2）.

分析 要證：a3+b3≥ab（a2+b2），

即證：a6+2a3b3+b6≥ab（a4+2a2b2+b4），

即證：a6+b6≥a5b+ab5，

即證：a5b+b5a≥a4+b4.

利用變形4：a3b≥2a2-b2，

則有a5b≥2a4-a2b2，b3a≥2b2-a2，則有b5a≥2b4-a2b2.

所以a5b+b5a≥2a4+2b4-2a2b2=a4+b4+（a2-b2）2≥a4+b4（當且僅當a=b時，取等號）.

命題成立.

通過上述例子，我們可以知道，只要你能用好基本不等式，不一定非要學完選修4-5才能解高考題.只要我們平時在學習一個知識的時候多動腦、多思考，就能發現好多有用的知識.