為學生自主建構知識提供空間

謝曉霞

【摘要】傳統的定理教學，教師更多是把數學定理直接呈現給學生，重結論、輕過程，導致學生沒有經歷和體驗知識的研究過程，不利于學習能力的自然生成，不能培養“會學”的能力.如何在定理教學上為學生自主建構知識提供足夠的空間，讓學生真正通過自己的思維活動主動地建構自己的數學理解，享受發現的快樂？這使我在進行“余弦定理”的教學時面臨挑戰.

【關鍵詞】余弦定理；教學評價

2011年陜西省高考文理科都有一道解答題 “敘述并證明余弦定理”.余弦定理的應用對學生來說并不陌生，但是，如何規范地敘述并證明余弦定理，難住了一些學生.為了充分調動學生的學習興趣，發揮學生在教學中的主體性，本課的教學采用探究式的教學方式，即沿著“創設情境，提出問題——構建模型，解決問題——追蹤成果，提出猜想——驗證猜想，歸納定理——鞏固深化，應用知識”的主線，使學生真正成為知識的“發現者”和“創造者”.下面筆者分幾個方面談談本人對“余弦定理”的教學評析.

（1）精心設置問題情境，促進學生自主學習

教材在引入余弦定理內容時，提出探究性問題：如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角？這樣的探究性問題太直白，無法激發學生的激情.為此筆者將這個探究性問題賦予生命力，從應用需要出發創設了數學情境.該情境取材于教材24頁解三角形應用舉例的習題.修改成情境問題為：福廈高鐵路線規劃要經過一座小山丘，就需要挖隧洞.挖隧洞就涉及一個問題，就是要測量出山腳的長度.而兩山腳之間的距離是沒有辦法直接測量的，那要怎樣才能知道山腳的長度呢？工程技術人員先在地面上選一適當位置A，量出A到山腳B，C的距離，再利用經緯儀測出A對山腳BC的張角，最后通過計算求出山腳的長度BC.若測得AB=300 m，AC=400 m，張角A=60°，則BC等于多少？

（2）給足空間，提高學生學習效率

首先，給足學生思考的時間.現實教學中許多教師過高地估計學生，不愿給學生留有過多的思考時間，當學生回答不出來時，教師也沒有思考如何去啟發學生，這種“老師講，學生聽”的灌輸式教學，其結果必然是學生“只知其一，不知其二”.

新課標提出要改變學生的學習方式，提高學習效率，就需要努力培養學生主動學習的能力.預習就是培養學生自覺主動學習、提高教學效果的有效途徑之一，是學生感知新知識、發展思維的重要手段，有助于了解下一節要學習的知識點，為上課掃除部分知識障礙，通過補缺，建立新舊知識間聯系，從而有利于知識系統化，有助于提高課堂學習的效果.對于本節課情境問題的解決，筆者設計成課前作業，讓學生不僅有充足的時間進行獨立思考或合作探究，也有助于合理安排課堂時間.

其次，給足學生思維的空間.在具體解斜三角形的過程中鼓勵學生“一題多解”，激發學生發現和創造的強烈欲望，加深學生對所學知識的理解，增強學生對數學思想和方法的運用，鍛煉學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和創造性；同時使學生有一種成就感，激發學生的學習興趣，拓展思維，打通余弦定理與正弦定理、向量、解析幾何、平面幾何的聯系，在比較各種證法后體會向量方法的優美簡捷、知識交融、方法熟練、能力提升.大部分同學都是先用正弦定理進行嘗試，在解題過程中發現無法一步到位解決問題，就放棄應用正弦定理，而思考其余解題思路.

思路一（幾何法）

過C點作AB的高CD，則CD=2003，AD=200，BD=AB-AD=100，所以BC=CD2+BD2=（2003）2+1002=130000≈360.6（m）.

第一種解法，是將一般的三角形轉化為特殊的直角三角形，是學生初中時常用的解題思路，學生大部分采用幾何法，熟門熟路.

思路二（向量法）

如圖，設CB=a，CA=b，AB=c，b=400，c=300，A=60°.

由三角形法則有a=b+c.

|a|2=a?；a

=b+c?；b+c

=b?；b+c?；c+2b?；c

=b2+c2+2bccos（180°-A）

=160000+90000+2×400×300×（-12）

=130000.

所以BC=130000≈360.6（m）.

第二種解法，是利用向量從形的角度構造向量等式，再將向量等式數量化.向量是必修4剛學的知識，在應用向量解決三角形的實際應用中學生也應用自如.

思路三（坐標法）

以AB所在直線建x軸，A為原點建立坐標系，則A（0，0），B（300，0），C（200，2003）.所以

BC=（300-200）2+（0-2003）2=10013≈360.6（m）.

第三種解法，是在建立適當的直角坐標系的條件下，利用兩點間的距離公式，從而將問題解決.解析法的解題思路是個別學生想到了，因為提議一題多解，對于常規思路避開后，部分學生積極思考，合作探究出思路.

出乎我意料之外的是有名學生舉手，他應用的是正弦定理，解題過程比較煩瑣. 思路四（正弦定理）

∵BCsinA=ABsinC=ACsinB.

即BCsin60°=300sinC=400sin（120°-C）（大部分學生不用正弦定理是在解決這步的時候沒有將B角轉化為120°-C，而不能繼續往下解題），

∴30032cosC+12sinC=400sinC.

∴332cosC=52sinC.

∴tanC=335.展開解得sinC=33213 .

所以BC=sin60°×300sinC=10013≈360.6（m）.

教師在此時及時對該生學生加以表揚，肯定他解決問題的成效，讓學生體會到學習的成功和樂趣并產生濃厚的興趣，這是推動學生自主學習的一種有效的內驅力，是影響學生學習活動效率的一個重要因素.

學生在原先解決實際問題的基礎上，輕車熟路的將特殊結論推廣至一般結論，并證明之.遵循由特殊到一般的規律進行探究活動是這節課設計的主要特點之一，在情境問題解決思路的基礎上類比出一般三角形已知兩邊一夾角的問題，學生很自然地發現“余弦定理”，證明“余弦定理”.發現余弦定理的來龍去脈的親身經歷，對于證明的多種思路自然深深地刻在學生的腦海里，讓學生知其然更知其所以然，培養了學生掌握正確的學習方法，掌握余弦定理的多種證明方法，理解余弦定理與其他知識的密切聯系，應用余弦定理解決其他問題.

再次，給足知識的延伸空間.如過說一節課是一個人體的話，那么這堂課的知識點就是心臟，而這堂課的練習則是肝臟.巧妙設計練習題，較好地促進數學教學，取得較好的教學效果.找準練習的切入點新授課時，通過設計一些練習題來進行新舊知識的聯系和過渡，會起到承上啟下的過渡作用.筆者在課堂變式題中設計：“在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，求B.”讓學生自然地發現并推導余弦定理的推論.而課后練習中設計些選作題如：

1.在△ABC中，若三邊a，b，c滿足a2=b2+c2+bc，則A=

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2.若三角形ABC的三條邊長分別為a=2，b=3，c=4，則2bccosA+2cacosB+2abcosC=

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3.△ABC中，已知sinA∶ sinB∶ sinC=3∶ 4∶ 5，這個三角形是

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（填銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）.

4.銳角△ABC中，b=1，c=2，則a取值為

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5.已知△ABC中，acosB=bcos A，請判斷三角形的形狀（用兩種不同的方法）.

這些選做題，不僅能滿足不同層次學生的知識需求，也為下節課余弦定理的應用與拓展提供了足夠的發展空間.

總之，本課中教師立足于所創設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為余弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了落實，為今后的“定理教學”提供了一些有用的借鑒.