關于一類特殊二階變系數齊次微分方程特解的注記

謝紅燕 黃斌

【摘要】主要論述了具有二階三角函數形式變系數微分方程的特解的結構，給出了三角函數形式的特解存在的形式和充要條件.

【關鍵詞】 變系數；三角函數；微分方程；特解

【中圖分類號】G642.0 【文獻標識碼】A

【基金項目】衢州學院校級精品課程資助

在高等數學中，關于二階常系數微分方程解的結構和解法進行了詳細的討論.對于二階變系數齊次微分方程的特解的求解，沒有具體的通用求解方法.文獻[1][2]利用觀察法探討了部分特殊二階變系數齊次微分方程的解法：

考慮二階變系數齊次

f(x)y″+p(x)y′+q(x)y=0

（1）

滿足：

f(x)+p(x)+q(x)=0

和

p(x)=f(x)+q(x)

時等五種情形.其構造特解是以eu函數為基礎，所求特解具有關于e指函數的特征.若是系數中有三角函數出現時，文獻中的觀察法就不太容易實現.

因此，本文從另一個角度出發，不妨假設所求一個特解為三角函數的形式，從而并給出滿足方程的具有三角函數特征的特解存在的充要條件.

定理1 方程（1）滿足條件：

f(x)=q(x)+acosx－bsinxasinx+bcosxp(x)，

有形如：

y=asinx+bcosx（y≠0且a,b為非零常數）的特解.

證明 充分性：

∵f(x)=q(x)+acosx－bsinxasinx+bcosxp(x),

∴f(x)(asinx+bcosx)=q(x)(asinx+bcosx)+(acosx－bsinx)p(x).

即：

f(x)(asinx+bcosx)″+p(x)(asinx+bcosx)′+q(x)(asinx+bcosx)=0.

∴y=asinx+bcosx是方程（1）的特解.

必要性：

∵y=asinx+bcosx,

∴y′=acosx－bsinx,y″=－asinx－bcosx.

代回原方程（1）

－f(x)(asinx+bcosx)+p(x)(acosx－bsinx)+q(x)(asinx+bcosx)=0，

整理可得：

f(x)(asinx+bcosx)=q(x)(asinx+bcosx)+(acosx－bsinx)p(x).

即f(x)=q(x)+acosx－bsinxasinx+bcosxp(x).

綜上所述，定理成立.

例1 求方程(5sin2x)y″+2(3sinx+2cosx)2y′－(12cos2x)y=0的一個特解.

解 由題意可得

f(x)=5sin2x，p(x)=2(3sinx+2cosx)2，

q(x)=－12cos2x，且a=3,b=2.

∵q(x)+p(x)3cosx－2sinx3sinx+2cosx=－12(cos2x－sin2x)+2(3sinx+2cosx)2?3cosx－2sinx3sinx+2cosx=5sin2x=f(x),

即：f(x)=q(x)+3cosx－2sinx3sinx+2cosxp(x),

所以方程有一個如下三角形式的特解：

y=3sinx+2cosx.

驗證：將特解y=3sinx+2cosx代入方程（1）得

(3sinx+2cosx)［－10sinxcosx+10sinxcosx+12(cos2x－sin2x)－12cos2x］=(3sinx+2cosx)(12cos2x－12cos2x)=0.

即y=3sinx+2cosx是方程的特解.

推論1：當a=0時，方程（1）滿足條件：

f(x)=q(x)－tanxp(x)，

有形如y=γcosx（其中γ為任意非零常數）的特解.

推論2：當b=0時，方程（1）滿足條件：

f(x)=q(x)+cotxp(x)，

有形如y=γsinx（其中γ為任意非零常數）的特解.

證明同上.

例2 求方程cos2xy″+sin2xy′+y=0的一個特解.

解 由題意得f(x)=cos2x，p(x)=sin2x，q(x)=1.∵q(x)－tanxp(x)=1－tanx?sin2x=1－2sin2x=cos2x，

∴f(x)=cos2x=q(x)－tanxp(x).

即方程有一個形如y=γcosx的特解.（其中γ為任意非零常數）

本文重點討論了方程（1）在滿足特定條件下具有三角形式的特解.

取acosx－bsinxasinx+bcosx=k(k≠0)時，便可類似得到文獻[1]的部分結論，本文的結論將文獻[1]原有部分結論做了推廣.

【參考文獻】

[1]張清芳,庫在強.用觀察法求某些二階系數齊次方程的通解[J].高等數學研究,2005,8(3): 47-48.

[2]鞏子坤.用觀察法求二階變系數齊線性方程的非零特解[J].高等數學研究,2010,13(3):24-25.