微元法求旋轉(zhuǎn)體體積課堂設(shè)計(jì)

樊娟華

【摘要】教師的課堂設(shè)計(jì)直接關(guān)系到學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和接受.如何生動(dòng)有趣有效地設(shè)計(jì)課堂教學(xué)是評(píng)價(jià)教師教學(xué)成敗的直接手段.微元法是根據(jù)定積分的定義抽象出來的將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成定積分的一種簡(jiǎn)單有效的方法，也是利用微積分處理實(shí)際問題的難點(diǎn).如何使復(fù)雜的積分問題變得容易理解，本文將給出微元法求旋轉(zhuǎn)體體積的教學(xué)設(shè)計(jì)方法.

【關(guān)鍵詞】微元法;課堂設(shè)計(jì);類比

高等數(shù)學(xué)具有“高度的抽象性、應(yīng)用的廣泛性”之特點(diǎn)，決定了它的嚴(yán)密和復(fù)雜.提起“高等數(shù)學(xué)”四個(gè)字，馬上“枯燥”二字就會(huì)浮現(xiàn)在大多數(shù)學(xué)生的眼前.那么擺在我們教師面前的就是如何改變這種認(rèn)識(shí)使死氣沉沉的高等數(shù)學(xué)課堂活躍起來？如何生動(dòng)有趣地組織高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程？如何讓學(xué)生自主參與高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)？這就是我們高職高等數(shù)學(xué)分層分類分專業(yè)教學(xué)改革設(shè)計(jì)與實(shí)施的主要內(nèi)容，也是眼下迫在眉睫的問題.下面我結(jié)合類比教學(xué)法從課改的角度“提出問題——知識(shí)講解——回歸問題”，談?wù)勎⒃ㄇ笮D(zhuǎn)體體積的教學(xué)課堂設(shè)計(jì).如果能起到拋磚引玉的作用或?qū)ν心苡幸稽c(diǎn)點(diǎn)啟示即達(dá)到本文之目的.

第一，提出應(yīng)用型問題.旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)封閉的平面圖形繞該平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而生成的幾何體.玩的籃球、足球都是半圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得來的，它們的體積就是圓的體積比較容易計(jì)算.同樣玩的橄欖球，看上去是橢球體，是橢圓繞其長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)一周得到的，可是體積是多少呢？（學(xué)生分組討論5分鐘，給出每組關(guān)于如何計(jì)算的討論結(jié)果）此時(shí)，教師要對(duì)給出的結(jié)果予以肯定和激勵(lì).然后教師再拿出若干個(gè)紙燈籠（旋轉(zhuǎn)開是燈籠）發(fā)給每個(gè)組（依組確定個(gè)數(shù)），再給每個(gè)組3分鐘討論時(shí)間，時(shí)間到教師開始啟發(fā)引導(dǎo)，確定旋轉(zhuǎn)體的每個(gè)垂直于軸的切面都是圓面，把旋轉(zhuǎn)體垂直于軸切若干下就得到若干個(gè)近似于圓柱的小圓柱體，若干小圓柱的體積和正是旋轉(zhuǎn)體的體積（時(shí)間3分鐘）.

第二，教師借助多媒體播放旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)的動(dòng)畫，以加深對(duì)旋轉(zhuǎn)體體積的理解.推出微元法計(jì)算近似小圓柱的公式，從而結(jié)合定積分思想給出旋轉(zhuǎn)體體積的表達(dá)式（時(shí)間5分鐘）.

講個(gè)例題鞏固微元法思想（時(shí)間5分鐘）.

第三，解決橢球體體積.有了紙燈籠做前奏，此時(shí)橢球體可以看作是橢圓x2142+y2102=1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的，體積微元為dV=πf(x)2dx=πy2dx=π1－x2142×102dx,

體積為V=∫14－14π1－x2142×102dx=56003π（時(shí)間10分鐘）.

第四，疑問解決.繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的體積已經(jīng)解決了，那么繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積是多少呢？讓一半的同學(xué)按照繞x軸旋轉(zhuǎn)的方法計(jì)算，另一半的同學(xué)動(dòng)腦想象（時(shí)間5分鐘）.結(jié)論是：計(jì)算得到橢圓x2142+y2102=1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為V=∫10－10π1－y2102×142dy=78403π，動(dòng)腦想象的部分同學(xué)說體積應(yīng)是相同的.（分組討論2分鐘）下面用類比教學(xué)法解答.類比教學(xué)法把與教學(xué)內(nèi)容相似或相關(guān)聯(lián)并且為學(xué)生較熟悉的事物作類比，以建立知識(shí)模型化抽象為具體，促使復(fù)雜化為簡(jiǎn)單.類比教學(xué)法是從日常生活中尋找較為接近的模型，讓學(xué)生從簡(jiǎn)單模型入手，從了解與知識(shí)類似的模型入手，從中探究提煉構(gòu)建知識(shí)體系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思維、充分聯(lián)想，幫助學(xué)生形成概念，使之鑒別異同，準(zhǔn)確且深刻理解該數(shù)學(xué)模型的形式，進(jìn)而強(qiáng)化靈活應(yīng)用之目的.

用一個(gè)長(zhǎng)為4，寬為2的矩形作類比，如下：

矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為Vx=π×12×4=4π，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為Vy=π×22×2=8π（5分鐘時(shí)間）.橢圓x2a2+y2b2=1繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周后雖然他們都是橢球體，但是它們是形狀完全不相同的橢球體，它們的差V差=Vx－Vy=43πab(a－b)，可見當(dāng)a=b時(shí)V差=0，即a=b時(shí)繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)后的體積相等都為圓的體積，當(dāng)a≠b時(shí)必有V差≠0，故繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)后的體積不相等.橢圓x2142+y2102=1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周后是標(biāo)準(zhǔn)的橄欖球，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后是壓縮加伸長(zhǎng)了的橄欖球（形狀酷似體育競(jìng)技中的鐵餅），這樣形狀改變就造成了體積的不一致，接著師生討論糾錯(cuò).（時(shí)間7分鐘）

通過實(shí)際教學(xué)的檢驗(yàn)和學(xué)生課堂教學(xué)的反饋意見，類比教學(xué)法“易學(xué)、易懂、易理解、易掌握”，可以淺化知識(shí)起到引水入河架橋過江的作用.學(xué)生在較輕松理解的基礎(chǔ)上既能很好地接受教師傳授的知識(shí)，同時(shí)也鍛煉了他們的空間想象能力、邏輯推理能力及遷移轉(zhuǎn)換能力.通過課堂上的啟發(fā)——想象——引導(dǎo)——再想象——再引導(dǎo)——最后解決實(shí)際問題，這一步步的教學(xué)過程都離不開教學(xué)情境的精心設(shè)計(jì)和活躍的課堂氣氛中師生間的精彩互動(dòng).有了學(xué)生的積極參與和教師的諄諄引導(dǎo)從而為教學(xué)營(yíng)造了寬松的課堂氛圍，使教師越上越有勁，學(xué)生越學(xué)越愛學(xué).類比教學(xué)法中化抽象為具體的教學(xué)過程不但鍛煉了學(xué)生的類比思維及形象思維，而且可以激發(fā)學(xué)生的探索欲、成功欲及求知欲，更重要的是深深銘刻于學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、研究方法及著眼點(diǎn)也會(huì)隨時(shí)隨地發(fā)揮作用，使他們受益終生.這樣的教學(xué)可以改變以解題技巧為主的傳統(tǒng)教學(xué)方式，打破學(xué)科式教學(xué)內(nèi)容體系的束縛，使課堂更靈活.類比教學(xué)法不僅應(yīng)用于求旋轉(zhuǎn)體的體積，它也可以應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)的其他講授部分.