通過(guò)數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)工程應(yīng)用型人才

段培超 張春曉 高永馨

【摘要】數(shù)學(xué)模型與民航案例是一門實(shí)踐性很強(qiáng)的課程，是連接數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力發(fā)揮了十分重要的作用.由于我校信息與計(jì)算科學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)為適應(yīng)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要，立足民航，面向社會(huì)，故而本課程系統(tǒng)地、有計(jì)劃地將民航案例引入教學(xué)，使學(xué)生對(duì)民航的現(xiàn)狀及其發(fā)展有深刻的認(rèn)識(shí)，為早日成為高素質(zhì)的應(yīng)用型人才，提前做好接觸民航、服務(wù)民航的準(zhǔn)備.本文主要介紹該課程近五年在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)特色等方面的建設(shè)情況和實(shí)施效果.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型；民航案例；實(shí)踐教學(xué)

一、引 言

當(dāng)今的數(shù)學(xué)迅速滲透到自然科學(xué)和社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域,拉近了與現(xiàn)實(shí)生活的距離,成為一種普遍可行的關(guān)鍵技術(shù)，以培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)的理論和方法來(lái)解決實(shí)際問題的能力為目標(biāo)的創(chuàng)新教育已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革中備受關(guān)注的一個(gè)熱點(diǎn).因此,如何培養(yǎng)高素質(zhì)的人才,增強(qiáng)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,已是數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)非常重要的課題.俄國(guó)著名數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基曾說(shuō)過(guò)：“任何數(shù)學(xué)分支，無(wú)論怎樣抽象，總有一天可被應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界的各種現(xiàn)象.”數(shù)學(xué)“是一把萬(wàn)能鑰匙，借助它，近代數(shù)學(xué)家打開了幾何以至大自然的秘密”.放眼所有現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的興起，計(jì)算機(jī)技術(shù)、航天技術(shù)、納米科學(xué)、人工智能等等，幾乎無(wú)一不得益于數(shù)學(xué)的發(fā)展與繁榮.

數(shù)學(xué)模型與民航案例是連接實(shí)際問題、數(shù)學(xué)知識(shí)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力的橋梁，是一門提高學(xué)生解決實(shí)際能力和創(chuàng)新能力的實(shí)踐類課程.由現(xiàn)實(shí)問題建立數(shù)學(xué)模型，是一項(xiàng)創(chuàng)造性的工作，是知識(shí)和能力的綜合體現(xiàn).由于我校信息與計(jì)算科學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)為適應(yīng)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要，立足民航，面向社會(huì)，本專業(yè)培養(yǎng)的學(xué)生，畢業(yè)后大部分要走上民航工作崗位，從事民航信息管理、數(shù)量分析、預(yù)測(cè)與控制等工作，這就要求我們應(yīng)將數(shù)學(xué)模型理論講授與民航實(shí)際訓(xùn)練有機(jī)地結(jié)合起來(lái).所以本課程系統(tǒng)地、有計(jì)劃地將民航案例引入教學(xué)，使學(xué)生對(duì)民航的現(xiàn)狀及其發(fā)展有深刻的認(rèn)識(shí)，并提前做好接觸民航、服務(wù)民航的準(zhǔn)備.

二、課程的教學(xué)改革與實(shí)踐

我校自2004年開設(shè)數(shù)學(xué)模型Ⅱ課程，經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，在課程教學(xué)改革方面做了許多探索，但效果還是不甚理想.課程組通過(guò)到南航和海航調(diào)研發(fā)現(xiàn)，部分畢業(yè)生普遍存在缺乏對(duì)現(xiàn)代民航行業(yè)特點(diǎn)、現(xiàn)狀、發(fā)展、工作流程和文化等方面的了解，上崗適應(yīng)慢，缺乏團(tuán)隊(duì)工作經(jīng)驗(yàn)，溝通能力、動(dòng)手能力較差，缺乏創(chuàng)新精神等問題.為適應(yīng)現(xiàn)代民航企業(yè)乃至全社會(huì)各級(jí)部門的需要，課程組針對(duì)以上問題，在2008版培養(yǎng)方案中將課程更名為“數(shù)學(xué)模型與民航案例”，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了細(xì)致認(rèn)真的推敲.并以課程教學(xué)內(nèi)容為主體，組織學(xué)生參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽、科技立項(xiàng)、教師科研項(xiàng)目等活動(dòng)為輔助，將調(diào)整課堂教學(xué)內(nèi)容、轉(zhuǎn)變教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式作為課程教育教學(xué)改革的重點(diǎn)，在以下幾方面進(jìn)行了積極的探索與實(shí)踐.

1.精選內(nèi)容,案例驅(qū)動(dòng)

目前很多高校的數(shù)學(xué)建模類課程在教學(xué)中還沒有形成比較完整嚴(yán)密的教學(xué)體系,教學(xué)資料的編排也各不相同.課程組經(jīng)過(guò)認(rèn)真討論，選定清華大學(xué)姜啟源、謝金星、葉俊編寫的《數(shù)學(xué)模型》（第四版）作為教材.但教材中數(shù)學(xué)模型的例子很多，如何合理地選擇適用于本專業(yè)教學(xué)及培養(yǎng)計(jì)劃的案例、增加有實(shí)際價(jià)值的民航案例，成為課程組所有老師最為關(guān)心和重視的問題.

信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)和統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的畢業(yè)生，既要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，又要具備必要的民航背景知識(shí).為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本知識(shí)訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生熱愛民航、服務(wù)民航的意識(shí)，對(duì)于教學(xué)中所采用的案例，課程組進(jìn)行了認(rèn)真的研討和慎重選擇，分層次選擇了以下案例：

第一部分：優(yōu)化模型、回歸模型、隨機(jī)模型等

公平的席位分配、實(shí)物交換、存儲(chǔ)模型、隨機(jī)人口模型、多階段最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃等20個(gè)數(shù)學(xué)模型.重點(diǎn)是使學(xué)生掌握優(yōu)化問題建模、隨機(jī)問題建模、數(shù)據(jù)建模的基本原理、方法和過(guò)程，難點(diǎn)是建模的思路和結(jié)合計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)求解及驗(yàn)證.

第二部分：差分方程模型、微分方程模型等

傳染病模型、藥物在體內(nèi)的分布與排出、捕魚業(yè)的持續(xù)收獲、種群的相互競(jìng)爭(zhēng)、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型等9個(gè)模型.重點(diǎn)是要求學(xué)生掌握應(yīng)用微分方程及其穩(wěn)定性理論建模的基本原理、過(guò)程方法.難點(diǎn)是建模的過(guò)程及相圖的描繪與分析.

第三部分：民航案例

航空公司的預(yù)定票策略、飛行計(jì)劃問題、飛機(jī)的精確定位問題、飛機(jī)除冰液地面除冰過(guò)程模型、民航運(yùn)輸總周轉(zhuǎn)量的多元回歸模型、我國(guó)民航事故率的預(yù)測(cè)模型、機(jī)場(chǎng)選址問題、航空公司的收益模型、發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)預(yù)測(cè)、機(jī)票的預(yù)訂票策略等十余個(gè)民航案例.這些案例涉及了民航生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)、維修、安全方面問題，重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決民航實(shí)際問題的原理、方法及實(shí)現(xiàn)過(guò)程.難點(diǎn)是數(shù)學(xué)模型的選擇、抽象、提煉、簡(jiǎn)化和求解、驗(yàn)證.

第一部分和第二部分教學(xué)內(nèi)容選擇于《數(shù)學(xué)模型》的經(jīng)典模型，第三部分選擇的民航案例來(lái)自于研究文獻(xiàn)及我校部分科研成果.通過(guò)2008級(jí)至2010級(jí)的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，新的教學(xué)內(nèi)容符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，激發(fā)學(xué)生的求知欲，收到了良好的教學(xué)效果.

2.運(yùn)用CDIO教學(xué)模式，加強(qiáng)課外實(shí)訓(xùn)

多年來(lái)，數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)人才培養(yǎng)起到了積極的作用，但也存在著不盡如人意的地方.教師認(rèn)為數(shù)學(xué)難教，學(xué)生認(rèn)為“數(shù)學(xué)難學(xué)，學(xué)了數(shù)學(xué)也沒有用途”.究其原因主要是對(duì)數(shù)學(xué)課程的定位模糊，數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)能力培養(yǎng)重視不夠或者沒有可行的方法進(jìn)行能力培養(yǎng).而CDIO教育模式恰恰非常有針對(duì)性的對(duì)教學(xué)中存在的許多問題作出了全面、系統(tǒng)的指導(dǎo).通過(guò)將CDIO教學(xué)模式融入課堂教學(xué)，創(chuàng)新實(shí)踐教學(xué)方法，使學(xué)生工程基礎(chǔ)知識(shí)、個(gè)人能力、人際團(tuán)隊(duì)能力和工程系統(tǒng)能力四個(gè)方面得到全面的訓(xùn)練和提高.達(dá)到適應(yīng)現(xiàn)代民航發(fā)展需求的目的和效果.CDIO代表構(gòu)思（Conceive）、設(shè)計(jì)（Design）、實(shí)現(xiàn)（Implement）和運(yùn)作（Operate）,它讓學(xué)生以主動(dòng)的、 實(shí)踐的、課程之間有機(jī)聯(lián)系的方式學(xué)習(xí)工程.超過(guò)書本的內(nèi)容通過(guò)課外自學(xué)或活動(dòng)獲得，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力；通過(guò)實(shí)際CDIO實(shí)踐教學(xué)，加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)際創(chuàng)新及動(dòng)手的綜合能力.

本學(xué)期同時(shí)開設(shè)的“數(shù)學(xué)模型與民航案例課程設(shè)計(jì)”為“數(shù)學(xué)模型與民航案例”的實(shí)踐環(huán)節(jié).“課程設(shè)計(jì)”將數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)有機(jī)結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)軟件及當(dāng)代最新科技成果的意識(shí)，能將數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)去解決實(shí)際問題，是新世紀(jì)培養(yǎng)高質(zhì)量、高層次人才的重要途徑.

“課程設(shè)計(jì)”強(qiáng)化課后建模實(shí)驗(yàn)訓(xùn)練,鞏固和深化課堂教學(xué).這門課程要求學(xué)生必須在課后多思考,真正將教師課堂所教的建模的思想、方法應(yīng)用于實(shí)際問題，特別是民航實(shí)際案例.因此，在練習(xí)題及大作業(yè)的布置上，課程組的教師經(jīng)過(guò)仔細(xì)研討，慎重選擇，“人口預(yù)測(cè)”“藥物在體內(nèi)的分布與排出”等要求讓學(xué)生做更深一步的討論,改進(jìn)原有模型，達(dá)到鞏固課堂教學(xué)的目的;“中國(guó)民航事故率的時(shí)間序列分析”“中國(guó)民航機(jī)場(chǎng)吞吐量的回歸模型”“民用飛機(jī)的定價(jià)”等要求學(xué)生自己收集資料、上機(jī)求解,在特定時(shí)間內(nèi)獨(dú)立地完成,并要求學(xué)生提交一篇思路清晰、條理有序的報(bào)告.

3.重視軟件應(yīng)用，提高建模效率

在“課程設(shè)計(jì)”環(huán)節(jié),教師應(yīng)系統(tǒng)講授數(shù)學(xué)軟件,并讓學(xué)生上機(jī)實(shí)習(xí),熟練使用這些軟件,提高解決實(shí)際數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,現(xiàn)已出現(xiàn)很多高性能、應(yīng)用性強(qiáng)的數(shù)學(xué)軟件,這些數(shù)學(xué)軟件克服了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容多、計(jì)算量大等缺點(diǎn),可以有效地節(jié)省時(shí)間,提高精度,獲取直觀形象的結(jié)果.目前我校數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室擁有正版的Matlab、SPSS、Mathematica等數(shù)學(xué)軟件，為學(xué)生數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)各個(gè)項(xiàng)目的完成起到了積極的促進(jìn)作用.課上，教師首先介紹“課程設(shè)計(jì)”中常用的數(shù)學(xué)軟件如Matlab、SPSS、Lingo等,有哪些功能，怎樣使用和如何編程，然后出一些練習(xí)題讓學(xué)生熟悉軟件包,培養(yǎng)學(xué)生利用軟件包求解模型和解題的能力,并培養(yǎng)學(xué)生用符號(hào)計(jì)算軟件編程的能力.靈活使用這些軟件,案例中復(fù)雜的數(shù)據(jù)計(jì)算和處理就不再是難題，尤其對(duì)于民航案例中的海量數(shù)據(jù)運(yùn)算，數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用大大提高了建模求解的效率.教師建議學(xué)生多用Matlab內(nèi)部函數(shù)，少用循環(huán)語(yǔ)句，可以大大提高運(yùn)算速度.

4.加強(qiáng)教學(xué)研究,提高教師教學(xué)水平

“數(shù)學(xué)模型與民航案例”課程的教學(xué)中，課程組成員積極探索，認(rèn)真學(xué)習(xí)，不斷提高自身教學(xué)及實(shí)踐水平來(lái)促進(jìn)本課程的教學(xué).在教學(xué)過(guò)程中,教師的水平是關(guān)鍵問題,教師水平高低直接影響著數(shù)學(xué)建模課程能夠達(dá)到預(yù)期的目的.講授數(shù)學(xué)建模課程的教師不但要具有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),而且要具有較高的分析問題解決問題的能力,能夠在學(xué)生建模遇到困難的時(shí)候,給予正確合理的指導(dǎo).因此,提高教師的教學(xué)水平,具有較為重要的意義.為了提高自身教學(xué)水平，課程組的教師認(rèn)真鉆研教材，定期進(jìn)行研討.近幾年，我校每年邀請(qǐng)一些著名的專家來(lái)校做報(bào)告,與本校的老師進(jìn)行交流,拓寬老師的視野.近幾年，先后邀請(qǐng)清華大學(xué)謝金星教授、復(fù)旦大學(xué)譚永基教授、北京航空航天大學(xué)李尚志教授等來(lái)校做關(guān)于數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)課程的精彩報(bào)告，使課程組教師受益匪淺.此外，學(xué)校、學(xué)院選擇合適的機(jī)會(huì)，選派相關(guān)教師參加一些學(xué)術(shù)交流、專業(yè)培訓(xùn)、到名校做訪問學(xué)者等活動(dòng)，開闊了教師的視野，提高其教學(xué)水平.但是，如何將建模思想更好地滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中,并構(gòu)建數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)模式,這始終是這門課程改革的方向,并有待大家進(jìn)一步思考和探索.

5.靈活的考核方式，開放的問題實(shí)訓(xùn)

目前本課程沒有專門的考試,評(píng)定成績(jī)的依據(jù)是平時(shí)的練習(xí)、作業(yè)、出勤（占15%）和實(shí)驗(yàn)報(bào)告（占85%）.實(shí)驗(yàn)報(bào)告的評(píng)分的最基本標(biāo)準(zhǔn)是必須自己動(dòng)手,要寫上實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其分析過(guò)程.實(shí)驗(yàn)報(bào)告包括:問題提出、實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?shí)驗(yàn)內(nèi)容及要求、實(shí)驗(yàn)過(guò)程及結(jié)果、結(jié)果分析等等.教師對(duì)練習(xí)題及大作業(yè)認(rèn)真批閱,對(duì)于其中出現(xiàn)的問題及時(shí)給出指正意見.

實(shí)驗(yàn)報(bào)告考核學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的理解、分析、抽象能力以及對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力.對(duì)于有創(chuàng)造性的報(bào)告,要給以高分作為鼓勵(lì).對(duì)于難度較高的題目，以小組為單位完成的實(shí)驗(yàn)報(bào)告，對(duì)小組成員統(tǒng)一給分，這就要求學(xué)生充分發(fā)揮團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力.本學(xué)期學(xué)生要交5個(gè)不同類型的實(shí)驗(yàn)報(bào)告,學(xué)生的數(shù)學(xué)建模課程成績(jī)就由實(shí)驗(yàn)報(bào)告來(lái)定.為了避免抄襲，保證成績(jī)的公平合理，我課上隨機(jī)抽取幾名學(xué)生講述完成大作業(yè)的思路、求解方法等，使得多數(shù)同學(xué)能夠通過(guò)自己的努力高質(zhì)量地完成報(bào)告.使學(xué)生學(xué)到的不只是知識(shí)，還有一種鉆研向上的精神！ 三、實(shí)施效果 通過(guò)三屆學(xué)生的實(shí)施，發(fā)現(xiàn)學(xué)生一定程度上改變了傳統(tǒng)理科類學(xué)生理論強(qiáng)、實(shí)踐弱的特點(diǎn)，變得更加愿意接近現(xiàn)實(shí)、挑戰(zhàn)實(shí)際問題.主要取得以下成效：(ⅰ)使學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi),掌握數(shù)學(xué)建模的基本知識(shí)和基本方法;(ⅱ)該課程與相應(yīng)的課程設(shè)計(jì)有機(jī)地結(jié)合起來(lái),使學(xué)生能熟練運(yùn)用常用的數(shù)學(xué)軟件解決實(shí)際問題，增強(qiáng)了學(xué)生的動(dòng)手能力;(ⅲ)該課程采用多媒體教學(xué)，加大了課堂信息量,加強(qiáng)直觀性和趣味性；(ⅳ) 對(duì)較為簡(jiǎn)單的問題，請(qǐng)學(xué)生講解、演示、操作，增強(qiáng)學(xué)生的參與意識(shí)，活躍課堂氣氛；(ⅴ)通過(guò)民航案例的引入，加深了學(xué)生對(duì)民航背景及發(fā)展現(xiàn)狀等的了解，使學(xué)生更加熱愛民航事業(yè)；(ⅵ)近幾年信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)和統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的熱情極大高漲，且取得不錯(cuò)的成績(jī). 學(xué)生對(duì)任何課程都有一個(gè)逐步學(xué)習(xí)、深入理解的過(guò)程，“數(shù)學(xué)模型與民航案例”課程的改革也不是一蹴而就的，需要不斷深化、不斷提高、不斷完善.近期，課程組將進(jìn)一步補(bǔ)充和完善“數(shù)學(xué)模型與民航案例”網(wǎng)絡(luò)課程，使網(wǎng)絡(luò)資源更加豐富和全面，為教學(xué)提供全面的支持和服務(wù)；完成《數(shù)學(xué)建模與民航案例》講義的編寫；在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中投入更多的精力，以教學(xué)推動(dòng)競(jìng)賽，再以競(jìng)賽帶動(dòng)教學(xué).堅(jiān)持改革，不斷創(chuàng)新，為培養(yǎng)高質(zhì)量的民航應(yīng)用型人才作出應(yīng)有的貢獻(xiàn). 【參考文獻(xiàn)】 [1]鄒瑾，楊國(guó)安.開心數(shù)學(xué)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2003. [2]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011. [3]陳斌，王立文.飛機(jī)除冰液地面除冰過(guò)程模型仿真與實(shí)驗(yàn).系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)[J].2012（3）:556-560. [4]宋云雪,張科星,史永勝.基于多元線性回歸的發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)預(yù)測(cè)[J].航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2009（2）:427-431. 本文由中國(guó)民航大學(xué)2013年中國(guó)民航大學(xué)信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)綜合改革項(xiàng)目及校級(jí)教研項(xiàng)目“數(shù)學(xué)模型與民航案例課程實(shí)踐化改革與建設(shè)”（CAUC-ETRN-2013-67）資助.