比例和不等于“1”的問題研究

趙彥軍

傳說在很久以前，有一位老人有三個(gè)兒子和17匹馬，在他臨終前他對三個(gè)兒子說：“我已經(jīng)寫好了遺囑，我把馬留給你們，你們一定要按我的要求去分. ”老人去世后，三兄弟看到了遺囑. 遺囑上寫著：“我把17匹馬全都留給我的三個(gè)兒子，大兒子得二分之一，二兒子得三分之一，三兒子得九分之一. 不許殺馬，不許流血，你們必須遵從父親的遺囑. ”按照父親的遺囑，每個(gè)人得到的馬都不是整數(shù). 大兒子得八又二分之一匹，二兒子得五又三分之二匹，三兒子得一又九分之八匹，難道要把馬殺死嗎？這可難為老人的三個(gè)兒子了.

正當(dāng)三兄弟一籌莫展時(shí)，有一位智者正好騎著馬路過這里，他聽說了這件事，就把自己的馬借給兄弟三人，讓他們分完馬再將馬還給他，兄弟三人借了智者的馬再分，大兒子分得一半，即18 × = 9（匹），二兒子分得三分之一，即18 × = 6（匹），三兒子分得九分之一，即18 × = 2（匹），18 - 9 - 6 - 2 = 1（匹），剩下的這匹馬正好還給智者.

分馬的故事，據(jù)說已經(jīng)在全世界流傳上千年了. 而智者也似乎從形式上解決了此問題，但真正如何從數(shù)學(xué)的角度來解決此問題，分馬故事的背后又隱藏著什么樣的數(shù)學(xué)知識(shí)，這是一個(gè)值得思考的問題. 下面我們從兩個(gè)不同的角度來剖析此問題.

一、運(yùn)用分配比例的方法分析分馬問題

幾千年來，人們都走入了一個(gè)相同的誤區(qū)，即認(rèn)為遺囑所說的二分之一、三分之一和九分之一，都是相對于17匹馬來說的，只要撇開這個(gè)認(rèn)識(shí)的限制，從全面整體的觀點(diǎn)來分析這個(gè)問題，就會(huì)找出符合要求的分配方案. 先看一個(gè)例子：“有12只羊分給三個(gè)兒子，大兒子得二分之一，二兒子得三分之一，三兒子得六分之一，則三個(gè)兒子各分到幾只羊？”，易知，大兒子分到6只羊，二兒子分到4只羊，三兒子得2只羊，具體算法為，大兒子：12 × = 6（只），二兒子：12 × = 4（只），三兒子：12 × = 2（只）.

這實(shí)質(zhì)是一個(gè)簡略寫法，補(bǔ)全是：

大兒子：12 × = 6，二兒子：12 × = 4，三兒子：12 × = 2，這里分母的1 = + + .我們之所以寫成12 × ，12 × ，12 × 的形式，是把“1”省略了. 其實(shí)質(zhì)上是應(yīng)該有“1”存在的，這里的比例 ， ， 也是相對于總體“1”來說的，它們是分別占總體“1”的 ， ， ，而不是相對于12只羊來說的. 相對于分馬問題，每給大兒子二分之一，就要給二兒子三分之一、給三兒子九分之一，所以實(shí)際上是要按照 ： ： 這樣的比例進(jìn)行分配，而不是把17匹馬的 ， ， 分給三個(gè)兒子，比例和 + + = < 1，我們就不能用各個(gè)分比除以“1”了，這時(shí)的總體應(yīng)是它們的比例和“ ”，它們的比例和不等于“1”，故不能省略，所以具體分法為：大兒子：17 × = 17 × = 17 × = 9（匹）.同理，二兒子：17 × = 6（匹），三兒子：17 × = 2（匹）.

二、運(yùn)用極限的方法分析分馬問題

假如先不考慮老人關(guān)于不許殺馬的要求，而硬把17匹馬的二分之一、三分之一和九分之一分別分給三兄弟，完成第一次分配；第一次分配后剩下一部分馬，再把剩下的這部分馬的二分之一、三分之一和九分之一分別分給三兄弟，完成第二次分配；第二次分配后還剩下一部分馬，再把剩下的這部分馬的二分之一、三分之一和九分之一分別分給三兄弟，完成第三次分配；照此辦法，任何有限次分配總不能把17匹馬全部分完. 而無窮無盡地分下去，三兄弟所分得的馬各是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)的和：

大兒子：第一次分配得：17 × ， 第二次分配得：17 × × 注： + + = ，剩下：1 - = ， 同理，第三次分配得：17 × × …

則大兒子分得的馬數(shù) = 17 × + 17 × × + 17 × × + 17 × × + … = × = 9（匹）

同理二兒子分得的馬數(shù)= 17 × + 17 × × + 17 × × + 17 × × + … = × = 6（匹）

同理三兒子分得的馬數(shù)17 × + 17 × × + 17 × × + 17 × × + …= × =2（匹）

張景中院士所著的《數(shù)學(xué)傳奇》一書指出，像分馬問題有好多版本，但都是改變一下總數(shù)和分配比例，一共可以有七種變化，就是說，這個(gè)故事可以有七種講法. 如果在每一種講法中把馬的總匹數(shù)記為n，把三兄弟分得的比例記為 ： ： ，則可以列表如下：

上述七種講法都是關(guān)于可以用“借來一匹馬，按規(guī)定的比例分配后恰好剩下一匹，再還回去”的辦法及上述兩種方法來解的.