小學統計概率的教與學

薛鈺萍

【摘要】 2001年，《義務教育階段國家數學課程標準》采取了循序漸進的方法，從小學階段開始，逐步引入統計與概率的有關內容，提高了對中小學統計概率的重視. 研究發現，部分中小學生對統計概率概念存在許多錯誤觀念，并提出相應的教學策略.

【關鍵詞】 等可能性；機會；概率；隨機；變量數學

信息社會，人們每天都面對著大量的數據和信息，常常需要在不確定情景中，根據大量無組織的數據，作出合理的決策，如購彩票、降雨概率、買賣股票的收益、統計部門大量的數據統計及決策等. 概率與統計正是通過對數據的收集、整理、描述和分析以及對不確定現象和事件發生可能性的刻畫，來為人們更好地制定決策提供依據和建議.

部分中小學生會對概率統計產生某些錯誤概念，概率概念高度抽象，隨機現象很難把握，尤其是概率說理有一個特殊的問題，那就是它有時會與因果的、邏輯的、確定性的思維形成沖突. 如，在教“三角形任意兩邊中點的連線平行于第三邊且等于第三邊的一半”時，只需作圖，并稍作推理，學生就能接受這一事實，但若教“拋擲一枚勻稱的骰子，擲得一點的概率為”時，教師卻不能在數次或幾十次實驗后，保證學生能觀察到這一事實. 而且要讓學生接受，要用大數次觀察的頻率作為一次試驗概率的估計值這一觀點更非易事，這正是造成概率概念難教難學的原因之一.

李俊博士對中小學概率統計的研究為我們制定教學策略提供了寶貴的依據和深刻的啟示：

分析產生錯誤認識的原因盡管是多方面的，比如，每名學生的數學現實與生活經驗不同，不同文化的影響，題目中的數據和背景，等等，但更重要的一點還在于學生從小學到中學學習常量數學所形成的片面地、孤立靜止地看問題的思維方式和習慣，不適應于隨機變量數學的學習. 為此，相應的概率概念的教學策略應是：

第一，引導學生用全面的、聯系的、運動變化的觀點看問題，學會辯證思維.

概率與統計和微積分等變量數學進入中小學，徹底打破了以往常量數學長期獨占天下的格局，片面地、孤立靜止地分析和解決問題的思維方式與習慣已完全不能適應新數學課程的學習. 學生必須學會用全面的、聯系的、運動變化的觀點分析和解決問題，在學會概率思維的同時學會辯證思維，教師要引導幫助學生逐步樹立辯證唯物主義的世界觀和方法論.

比如，“比例數”是靜態概念，“概率”是動態概念，古典概率計算體現了“動”與“靜”的辯證觀. 例如，“靜態”地看，一顆骰子奇數點所占的比例數為■；“動態”地講，任意擲一次出現奇點的概率為■. 不難看出，在“靜態”向“隨機”轉化時，“比例數”相應于“概率”. 然而，概率思維與比例推導卻是基于兩種截然不同的心智模式.

第二，以具體直觀教學活動把握隨機性理解抽象概念，培養學生的隨機性數學意識.

數學思維活動建立在直接感知具體形式的基礎上才能形成生動的直觀和活潑的想象，概率概念教學應通過真實的活動、真實的數據和直觀模擬，讓學生在做中學. 教師要創造問題情境鼓勵學生檢查、修改和更正他們對概率的信念和常發生的錯誤認識，幫助學生分析和發現產生錯誤認識的原因，采取探究式的學習策略學習概率概念知識，結合實驗教學，讓學生通過實例認識到機會可以被量化，大量重復試驗會使頻率趨于穩定，接受用頻率估計概率的思想，逐步引入概率的公理化定義.

關于隨機性數學意識的培養，我們可以從以下三個方面著手：（1）改進教學方式. 我們應注重確定性數學與不確定數學的聯系，統計與概率的聯系，概率統計知識與日常生活、自然、社會和科學技術領域的聯系；注重學生的實踐，使教學的視野延伸到廣闊的社會中去；還應該注重學生的合情推理和邏輯推理.（2）轉變思維方式. 概率可以用頻率近似代替，但頻率是變數，而概率是定值，這里有變與不變的辯證關系；小概率事件雖然有發生的可能性，但概率太小，我們就認為是不可能事件，這又體現了可能與不可能的辯證關系. 當然，思維方式的轉變絕非一朝一夕之事，在此過程中，應首先學會學會“返璞歸真”，即當所學的新知識在原認知結構中沒有恰當的知識與之同化時，就必須以原始的初級的思維方式重建認知結構，以形成順應. 其次是學會“合理利用”，即當思維回到原始狀態時，認知結構中一些看似已沒有價值的經驗卻是可供利用的最好的工具，因為它已塑造了個人的數學修養，而數學修養是從“原始”走向“文明”的催化劑. （3）改進學習方式. 學生在學習中應該逐漸形成“用數學”的意識. 在學習中，一方面要不斷地豐富“模式庫”，另一方面還要不斷提高創建模式的能力. 如果在學習的過程中不斷地努力創建模式來解決新問題，就能在豐富模式庫的同時，不斷提高解題能力.

第三，培養模型意識和應用能力.

見于有些錯誤的發生常與題目中的數據和背景有關，因此，概率教學中要有意識地訓練學生用不同的替代物來模擬同一個概率問題，使學生認識到怎樣由現實隨機問題抽象出概率模型，并能舉例說明某一概率模型的若干現實原型.

總 結

在教學中根據學生的各種錯誤概念，科學地設計實例實驗，就等于為學生搭起了腳手架，提供了有利的學習環境，才可以保證學習活動的有效性. 如何更好地實施教學實現2001版《標準》中的要求，給出以下幾點建議：

（1）突出統計思維的特點和作用；

（2）統計教學應通過案例來進行；

（3）注重從數據中提取信息；

（4）重視對概率模型的理解和應用，淡化繁雜的計算；

（5）注重對隨機現象與概率的意義的理解；

（6）注重建立正確的概率直覺；

（7）注重信息技術的使用.