微積分在實際生活中的應用

周芷凡

【摘要】微積分不僅是一個數學概念，其實也是一種數學思想，微分就是“無限細分”，而積分就是“無限求和”.微積分在創立之初就在數學、物理學、經濟學和天文學等方面發揮了非常重要的作用，反過來，又是在這些應用中得以發展的.本文將從微積分在物理學和經濟學中的作用談起，試圖探討微積分在生活中的無論大的方面還是小的方面的應用.

【關鍵詞】微積分；物理學；經濟學；實際生活；應用

一、前言

微積分是高等數學中的一門重要學科，是對微分學和積分學的總稱.微積分是運用無窮大和無窮小等極限過程來分析和處理計算問題的數學概念，所以也有人將之稱為分析學.

微積分不僅是一個數學概念，其實也是一種數學思想，微分就是“無限細分”，而積分就是“無限求和”.微分學包括極限理論、導數、微分等主要內容，積分學包括定積分、不定積分等內容.通俗的來說，微積分主要就是研究一些不過則變量的，小到不規則建筑零件的體積的計算，大到對經濟受益彈性的計算等等.微積分在創立之初就在數學、物理學、經濟學和天文學等方面發揮了非常重要的作用.

二、微積分在物理中的應用

微積分在實際生活中的應用往往是通過在對一些使用科學中的應用來體現的.其中微積分在物理學中的應用就非常之普遍，下面就從兩個簡單的有關力學和電學的問題來看微積分在物理中的普遍應用.

例1若某質點做直線運動，其位移與時間的函數關系為s=3t+2t2，試求其t時刻的速度的表達式.（所有物理量都用國際制單位，以下同）

分析我們知道，公式v=Δs[]Δt一般是求Δt時間內的平均速度，當Δt取很小很小，才可近似處理成瞬時速度.

s（t）=3t+2t2s（t+Δt）=3（t+Δt）+2（t+Δt）2.

Δs=s（t+Δt）-s（t）=3（t+Δt）+2（t+Δt）2-3t-2t2=3Δt+4tΔt+2Δt2.

v=Δs[]Δt=3Δt+4tΔt+2Δt2[]Δt=3+4t+2Δt.

當Δt取很小，小到跟3+4t相比忽略不計時，v=3+4t即為t時刻的瞬時速度.

例2電容器是一種存儲電荷的元件，它的基本工作方式為充電和放電，我們先考察電容器放電時的情況.某電容為C的電容器，其已充電的電量為Q0，若讓該電容與另一個阻值為R的電阻串聯起來，該電容器將會放電，其釋放的電能轉化電阻的焦耳熱（內能）.試討論：放電時流過電阻R的電流隨時間t 的變化關系如何？

分析在Δt的時間內，通過電阻R的電量為Δq.雖然電流隨時間發生變化，但在很短的時間Δt內，可以認為電流幾乎不變，當成恒定電流處理，故有Δq=iΔt.對電容有Q=CU=CiR，ΔQ=CRΔi；由電量守恒，ΔQ=-Δq，故-iΔt=CRΔi，然后把“Δ”形式改寫成微積分語言的“d”形式，就有-idt=CRdi（dt和di稱之為微分），數學變形為i=-CRdi[]dt，接著再按照袋鼠方法就可以計算了.

三、微積分在經濟上的應用

微積分不僅在物理中運用非常普遍，在經濟學中也是一樣.微積分在經濟學中的應用主要體現在函數關系上，下面依然用兩個問題進行簡單論述.

例1設某企業在生產一種商品x件時的總收益為R（x）=100x-x2，總成本函數為C（x）=200+50x+x2，問政府對每件商品征收貨物稅為多少時，在企業獲得利潤最大的情況下，總稅額最大？

分析設每件商品征收的貨物稅為a，利潤為L（x）.

L（x）=R（x）-C（x）-ax

=100x-x2-（200+50x+x2）-ax

=-2x2+（50-a）x-200.