高中數(shù)學(xué)立體幾何問(wèn)題的解析方法探討

史洪波

【摘要】在高中階段，我們不可避免的會(huì)學(xué)習(xí)立體幾何，立體幾何作為我們高考中比較重要的一門(mén)學(xué)科。它與向量運(yùn)算函數(shù)、解析幾何和三角運(yùn)算有著非常緊密的聯(lián)系，同時(shí)它也是近年高中大大小小考試的新寵，但是它也是高中時(shí)期的一個(gè)難點(diǎn)，空間解析幾何這門(mén)學(xué)科中的線面關(guān)系和向量運(yùn)算是立體幾何問(wèn)題解決的一個(gè)有利途徑。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 立體幾何 解析方法

【中圖分類號(hào)】G633.63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）02-0150-02

夾角、距離、垂直、平行等是立體幾何中需要解決的核心問(wèn)題。一般的解決立體幾何方法主要根據(jù)定理和概念、憑借各種幾何圖形的不同分割、利用邏輯思維對(duì)空間的理解作為考查點(diǎn)，需要考生判斷它們的潛在意義。關(guān)系、指示代詞、一詞多義也是各類考試中常客。面對(duì)這類問(wèn)題我們要特別注意關(guān)系和指示代詞的潛在意義。如碰到結(jié)構(gòu)復(fù)雜的句子，那我們更該注意其中的指示代詞。

1.利用函數(shù)思想解決立體幾何問(wèn)題

所謂函數(shù)的思想，就是根據(jù)變化和運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，鉆研和分析立體幾何數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)之間的關(guān)系或是構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)等價(jià)的圖形和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化為待求問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題。函數(shù)的思想其實(shí)就是對(duì)函數(shù)基本概念的理解，用于指導(dǎo)學(xué)生解題，經(jīng)常利用函數(shù)的觀點(diǎn)觀察、分析和解決問(wèn)題，會(huì)對(duì)學(xué)生遇到的幾何問(wèn)題有很大的提升，使他們的邏輯思維能力得到鍛煉；對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在幾何解析過(guò)程中的作用主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是在幾何問(wèn)題的分析中，通過(guò)建立函數(shù)之間的關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把待解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分析相關(guān)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的；二是利用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，解函數(shù)值、證明不等式、解方程以及分析相關(guān)參數(shù)的取值范圍等幾何或是數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例題分析：如圖， PA垂直于圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)∠BAC=？琢，PA=AB=2r，求異面直線PB和AC的距離。

分析：異面直線AC和PB之間的距離可以看成求直線PB上任意一點(diǎn)到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)進(jìn)而求目標(biāo)函數(shù)的最小值。

解析：在PB上任取一點(diǎn)M，作MD上AC于D，MH上AIB于H，

設(shè)MH=x，則MH⊥平面ABC，AC⊥HD，

MD2=x2+[（2r-x）sin ？琢]2

=（sin2 ？琢+1）x2-4rsin2？琢x+4r2sin2？琢

=（sin2？琢+1）[x-2rsin2？琢/1+sin2？琢]2+4rsin2？琢x/1+sin2？琢

即當(dāng)x=2rsin2？琢/1+sin2？琢?xí)r，MD取最小值，■為兩異面直線的距離。

對(duì)以上題型的分析：本題的思路是將立體幾何中的“兩條異面直線之間的距離”轉(zhuǎn)化成“求兩條異面直線上兩點(diǎn)之間距離的最小值”，并設(shè)定匹配的變量將幾何問(wèn)題變成代數(shù)中的“函數(shù)問(wèn)題”。一般而言，針對(duì)求最小值、最大值的實(shí)際問(wèn)題，首先應(yīng)該將文字解釋轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)后，然后再建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和對(duì)用的函數(shù)關(guān)系式，最后利用函數(shù)的性質(zhì)、重要的不等式和相關(guān)代數(shù)和幾何知識(shí)進(jìn)行解答。

2.利用空間幾何思想解決立體幾何中平行與垂直的問(wèn)題

空間幾何圖形的平行關(guān)系有線與面平行、線與線平行、面與面平行。可以分別轉(zhuǎn)化為向量平行、向量共面和垂直問(wèn)題來(lái)解決。

設(shè)平面？仔的法向量為■，直線？謀的方向向量為■，兩直線 ？謀m和？謀n的方向向量為■和■。平面？仔1和？仔2的法向量為■和■，則上述問(wèn)題的向量之間的關(guān)系可以表示為：

？謀m//？謀n？圳■//■？圳k■，k∈R（線線平行）；

？謀//？仔？圳■⊥■=0，或■與？仔內(nèi)的兩個(gè)相交向量■、■共面。（線面平行）；

？仔1//？仔2？圳■//■？圳m2=k■，k∈R（面面平行）；

空間幾何圖形的垂直關(guān)系有線與面垂直、線與線垂直、面與面垂直。我們可以分別把它們轉(zhuǎn)化為向量垂直和向量平行問(wèn)題來(lái)解決。

？謀⊥？仔？圳■//■？圳■=k■，k∈R，且■與？仔內(nèi)的兩個(gè)相交向量■、■垂直。即■·■=0，■·■=0（線面垂直）；

？謀m⊥？謀n？圳■⊥■？圳■·■=0（線線垂直）；

？仔1⊥？仔2？圳■⊥■？圳■·■=0（面面垂直）。

3.利用空間幾何思想來(lái)分析空間圖形間的距離和夾角

二面角的平面角、立體幾何中的異面直線之間的夾角、直線與相應(yīng)平面的夾角的確立在向量運(yùn)算中我們可以按照下面的方法來(lái)分析。

兩直線？謀m和？謀n的方向向量■和■的夾角（一般是指銳角）叫做兩條直線的夾角。根據(jù)公式cos？茲=cos■，■=■確定。

設(shè)直線？謀與它在平面？仔上的投影夾角為？茲。因?yàn)椋科?■-■，■，所以sin？茲=cos■，■=■。

設(shè)兩平面的夾角為？茲，兩平面？仔1和？仔2的法向量為■和■當(dāng)0≤■，■≤■時(shí)，兩平面的夾角為■，■，當(dāng)■<■，■≤？仔時(shí)，兩平面的夾角為？仔-■，■。所以cos？茲=cos■，■=■。

平面外一點(diǎn)到平面的距離：設(shè)P為平面？仔外一點(diǎn)，■為的？仔法向量，A為平面內(nèi)任一點(diǎn)，■與？仔的夾角為d=■Sin？漬=■cos■，■=■。則d=■Sin？漬=■cos■，■=■。即■在■上投影的絕對(duì)值。

異面直線問(wèn)的距離：設(shè)異面兩直線？謀m和d=■的方向向量為■和■。為與？謀m、？謀n垂線共線的向量。由■⊥■1？圳■·■1=0，■⊥■2？圳■·■2=0。解得■。

在？謀m和？謀n上分別取點(diǎn)A和B。則■在■上投影的絕對(duì)值即為所求即d=■。

4.利用空間幾何思想來(lái)解決立體幾何中動(dòng)態(tài)的問(wèn)題

在我們遇到的立體幾何問(wèn)題中，除了一成不變的面與面、線與面、線與線間的垂直、平行、距離、夾角間的常見(jiàn)問(wèn)題外，偶爾還會(huì)遇到很多關(guān)于“動(dòng)態(tài)”的線、點(diǎn)、面這些元素的問(wèn)題。相對(duì)那些常規(guī)問(wèn)題，這些問(wèn)題經(jīng)常更具有挑戰(zhàn)性和靈活性。利用空間幾何思想我們可以使這些看上去無(wú)法入手的立體幾何復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。

5.總結(jié)

根據(jù)以上分析可以看出，我們談?wù)摰挠每臻g解析幾何的思想即向量方法來(lái)處理立體幾何問(wèn)題是非常方便和有效的。其中關(guān)鍵的部分是根據(jù)幾何圖形中的平行、垂直、相交等關(guān)系，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，可以利用立體幾何圖像中所涉及的東西表示向量，從而使立體幾何問(wèn)題中的線與線之間的關(guān)系和線與面之間的關(guān)系，以及距離和夾角問(wèn)題適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化為向量間的相應(yīng)關(guān)系處理，最后再把向量之間的運(yùn)算結(jié)果來(lái)表示相應(yīng)的立體幾何問(wèn)題。

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