對數學定理教學的思考

陶磊

【摘要】 在數學定理教學中，要強調數學定理的發現過程，突出數學定理證明思路的探索過程，重視數學定理的引申和推廣.

【關鍵詞】 定理教學；思維活動；思維過程

數學概念、數學定理（公式、法則等）是數學思維的細胞，是學生學習數學知識的基礎，也是數學思維的起點，在數學教學中具有重要的地位.數學概念和數學定理（公式、法則等）的形成過程所蘊含的數學家的思想方法、思維方法及研究方法，更是數學學習的精髓所在.在數學定理教學中，對數學定理的形成過程進行精心設計，將凝結在數學定理中的數學家的觀察、試驗、歸納、概括、推理與證明等思維活動打開，并設計一定的載體（如教學情境、教師講解、學生探究和反思、變式訓練等），用以展開這些數學思維活動，使得學生的學習思維與數學家的思維同步，并逐步使其思維結構與數學家相似，讓學生在體驗數學家思維活動的過程中提高數學素養，發展創造性思維能力，這是數學定理教學的關鍵所在.下面談談筆者對數學定理（公式、法則等）教學的淺見.

一、強調數學定理（公式、法則等）的發現過程

在傳統的接受性學習中，學習數學往往以定論的形式直接呈現出來，學生學習數學定理（公式、法則等）是在記定理、背定理，往往看不到數學定理（公式、法則等）的發現過程，只看到完美的結論，正像波利亞所說：“只給出規則而不講理由，則干巴巴的規則會很快被遺忘.”其實，數學家的發現過程是迂回曲折的，他們的思維活動通常是從具體的背景材料出發，通過觀察、試驗、類比、歸納等一套合情推理，提出需要證明的數學猜想.

在數學定理教學中，模擬數學家的思維活動，引導學生進行“似真性”的發現，讓學生體會到尋求真理的興趣和喜悅，這是數學教師主導作用之所在.

例如：在三角形全等的“邊角邊”條件這節課的教學中，筆者創設了下面的問題情境來引導學生探究發現.

問題1：如果已知一個三角形的兩邊及一個內角，那么它有幾種可能情況？

同學們經片刻的思考與交流后得出兩種：（1）兩邊及其夾角，（2）兩邊及一邊的對角.針對學生答出的這兩個問題，教師提出對這兩個問題進行探究.

探究1：先畫出一個△ABC，再畫出一個△A′B′C′，使AB = A′B′，AC = A′C′，∠A = ∠A′（即保證兩邊和它們的夾角對應相等），把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們全等嗎？

探究2：先畫出一個△ABC，再畫出△A′B′C′，使AB = A′B′，AC = A′C′，∠B = ∠B′（即保證兩邊和其中一邊的對角對應相等），把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們全等嗎？

先由學生自己動手，利用直尺、三角尺、圓規等工具，對以上兩個問題進行實驗操作，并探究全等三角形的條件.在學生個人探究的基礎上再全班交流，最后得到：

兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等，所以它不能作為判定兩個三角形全等的方法；

兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等，可作為判定兩個三角形全等的方法.

上面的探究活動，學生通過動手操作，為數學定理的學習積累活動經驗，在“操作”中探究，在過程中感悟，在體驗和感悟中理解數學定理的意義.這樣學習的數學定理在認知結構中才會有所依托，才會鞏固.

二、突出數學定理證明思路的探索過程

對數學定理（公式、法則等）的證明，如果僅用演繹推理，按教科書上的格式敘述過程，這就降低了教學的要求.“直截了當”固然節約了時間，但對學生來說卻缺乏一個完整的認識過程.數學家真實的思維過程，常常被最終的簡潔掩蓋著，我們雖然不知道，但是我們可以仿真，作出示范.在思路分析中，應教給學生如何聯想、探索、猜想、推理、轉化，特別是分析思維受阻時，如何合理改變心向，變換策略，另辟蹊徑，從而到達目的的思維過程.同時還應把學生有價值的解題思路發展下去.為了使這種思維過程卓有成效，教師必須對教材進行“再創造”.

例如，對于如何證明“勾股定理的逆定理”的教學，當學生通過猜想得到：“如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2 + b2 = c2，那么這個三角形是直角三角形.”接下來證明猜想的正確性也就變成了學生自發的需要.先猜，于是我先讓學生說說證明的思路.有的同學說，是根據勾股定理，因為a2 + b2 = c2，所以這個三角形是直角三角形.此種說法馬上遭到部分同學的反對，理由是：在勾股定理中，題設是直角三角形，而在要證明猜想的題設中沒有告訴我們△ABC是直角三角形，所以不能應用勾股定理.這時一名學生站起來說他會證，并到黑板上板演解題過程，即如圖1，作一個Rt△A′B′C′，使∠C′ = 90°，C′A′ = a，C′B′ = b，由題設，得A′B′ = c，那么△ABC ≌ △A′B′C′，所以∠C = 90°，所以△ABC是直角三角形.

此時老師追問這名同學你是怎樣想到這種方法的，這名同學說他是從課本上看的.老師繼續追問這種證明的方法是什么方法. 全班大部分同學回答說是構造法，上節課證明勾股定理也是用構造法.這時老師指出：同學們說得好，構造法是一種重要的數學方法，通過這兩節課的學習，大家對它有了初步的認識，今后在解題中要學會靈活運用.并提問全班同學：本題證明中用構造直角三角形的方法很妙，但思路是如何想到的啊？當同學們都在靜靜思考的時候，一名同學談了自己的想法，他說：“我是這樣想的：前面已學習過勾股定理，而問題1中的已知條件a2 + b2 = c2類似于勾股定理中的結論.如果想要應用已有知識，首先想到的是應用勾股定理，而要應用勾股定理就必須得有直角三角形這個條件，所以想到要構造一個直角三角形.”至此，學生完全明白猜想結論的證明及為什么這樣去證明.

用構造的方法證明“勾股定理的逆定理”是很有思考性的問題，怎樣構造？為什么這樣構造？你是怎樣想到的？等等，這對培養學生的數學思維能力極為有益.如果老師很突然地構造了直角三角形，按教科書宣讀證明過程，就降低了教學的要求.長此以往，“機械學習”也在所難免.

三、重視數學定理（公式、法則、性質等）的引申和推廣

數學概念的完整性和數學模型的普遍性是數學探索的主要內容，對數學定理進行引申和推廣，也是數學家常用的研究方法.數學研究的很多問題都是某種形式的推廣，將數學定理進行引申和推廣，既符合數學知識本身發展的規律，也符合學生個體心理發展的規律.

例如，學習了三角形的中位線定理后，可進一步引導學生聯想：如果將條件“三角形”改成“梯形”，那么又有什么新的結論？使學生的思維跨入新的高度.

又如，當學生學習了平行線分線段成比例定理“三條平行線截兩條直線，所得的對應線段的比相等”后，接著，教師繼續引導學生探究這個定理的推廣和特殊情況，即定理是否存在推廣情況， 是否存在特殊情形，先讓學生獨立思考，再合作交流得到：

變式1：一組平行線（平行線族）截兩條直線，所得的對應線段的比相等.

變式3：如圖3中的實線部分，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應線段的比相等.

變式4：如圖4中的實線部分，若AB = BC，AE = DE，則BE = ■CD（三角形中位線定理對應的基本圖形）.

變式5：如圖5中的實線部分，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊的延長線，所得的對應線段的比相等.

世間萬物都在變化之中，但只說事物在變，不能說明什么問題，科學的任務是要找出變化中不變的規律.于是在得到上面的各種變式后，教師繼續提出問題讓學生思考：在上面的各種變式中，其不變的規律是什么？

學生思考后認為， 在“平行線”的條件下， 通過直線移動得到各種變式圖形，但其“對應的線段比相等”是不變的.

學生經歷對數學定理（公式、法則等）進行引申和推廣的過程，不但使他們也像數學家一樣經歷了發明創造的過程， 而且使他們在理解知識的基礎上，把學到的知識轉化為能力.同時還使他們體驗到新知識是如何從已知知識逐漸演變或發展而來的，從而理解知識的來龍去脈，形成良好的認知結構.

結束語：數學教學應是數學思維活動的教學，在數學定理教學中，應盡可能多地給學生提供觀察、嘗試、操作、練習、猜想、探索、演繹、證明等機會，鼓勵、放手讓學生去實踐，通過思維過程，優化學生的思維品質，培養學生的創造能力.

【參考文獻】

[1]鮑建生，周超，著.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.