例談多元表征在初中數學教學中的意義

鄭學軍

【摘要】 多元表征是符號表征、語言表征、操作表征、情境表征、圖形表征等外在表征形式的綜合，多元表征訓練在初中數學教學中具有重要的意義. 多元表征有利于學生形成對數學的科學認識，有利于學生構建良好的知識結構，增強學生全面審視問題的能力，并且幫助學生形成最優化的解題策略.

【關鍵詞】 多元表征；初中數學；教學；意義

“表征”有代表、表示和象征等意思. 表征在心理學里是指用某種形式，把事物的特性重新表示出來，它可以是具體的形象或圖形，也可以是抽象的語義或者命題. 通常，表征還指提取和理解問題信息的過程.

認知心理學認為：表征在學習知識和理解知識結構的過程中扮演了重要的角色；同時表征也是解決問題和尋求解決方法時所必須經歷的過程，問題的有效解決常常依賴于對問題的合理表征，不同的表征可能產生不同的解決方法. 一般來說，表征可分為內在表征和外在表征. 內在表征是指存在于個體頭腦里而無法直接觀察的心理表征. 外在表征指以語言、文字、圖形、符號、具體物、活動或實際情境等形式存在的表征.

多元表征就是指外在表征的多種形式. 一個事物通常具有多重屬性特征，它們是客觀存在的，卻不一定被學習者所全部認識. 數學知識也是以多元的形態存在，并通過不同的表征形式，展現它的屬性特征. 有學者（Dreyfus和Eisenberg）指出：任何表征將能夠表達部分但不是全部的信息，凸顯其中的一些方面而隱藏了另一些. 所以說，單一的表征形式不利于學生對知識的全面理解. 而多元表征，有利于從各個側面反映事物并綜合起來展現整體概貌.

近年來，多元表征在數學認知方面的促進作用成為教育界的研究熱點. 本文結合認知心理學理論和課堂教學實際，通過數學實例闡明多元表征在初中數學教學中的意義.

1. 有利于學生形成對數學的科學認識

百度詞條對“數學”是這樣解釋的：數學源自于人類早期的生產活動，數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科. 自從笛卡爾創立了解析幾何，代數學和幾何學就聯系到了一起，從此我們可以用計算證明幾何定理，同時也可以用圖形來表示抽象的代數方程.

由此我們知道，數學作為一門學科，它具有實用性、整體性和延續性. 然而在教學實踐當中發現，常常有學生疑惑學習數學的意義，認為數學過于抽象而脫離生活，對數學知識無法建立前后聯系，從而在學習過程中感到枯燥無味，并因此影響了學習的效果.

多元表征學習，使學生以更豐富的視角去看待數學知識，其本身就是一個更加科學的學習方式. 它不僅使學生更加全面地理解知識，而且有利于學生形成對數學的整體認識. 例1 完全平方公式（a + b）2 = a2 + 2ab + b2的多元表征教學

（1）符號表征：利用多項式乘以多項式法則計算.

（a + b）2 = （a + b）（a + b）

= a（a + b） + b（a + b）

= a2 + ab + ba + b2

= a2 + 2ab + b2.

（2）語言表征：概括公式特征——頭平方，尾平方，頭尾相乘的兩倍不要忘.

（3）操作表征：學生分別取幾組數值，計算（a + b）2和a2 + 2ab + b2的值，通過比較發現兩式的關系.

（4）情境表征：商場新開張，免費派發糖果給前來的小朋友，并且規定：每次有多少個小朋友一起來就會給每個小朋友同樣數目的糖果（如6個小朋友一起來，則每個小朋友得到6個糖果）. 現有a個男孩和b個女孩準備去該商場，他們在思考怎樣可以得到更多的糖果——男孩女孩一起去，還是男孩女孩分兩批過去？引導學生探索兩種情況的數量關系.

（5）圖形表征：利用圖形，研究大正方形面積和里面四個矩形的面積，引導學生探索（a + b）2和a2 + 2ab + b2關系.

如下表所示，我們看到，完全平方公式的多元表征教學在各個表征層面都發揮了一定的作用. 因此，多元表征教學有利于學生科學地、全面地看待數學學科，使學生對數學形成濃厚的學習興趣，提高數學學習的效果.

2. 有利于學生構建良好的知識結構

學生在表征系統內的聯系和轉譯，是深刻影響學生深度理解數學的重要因素. 在教學中經常進行多元表征訓練，就是為了強化學生在表征系統內的聯系和轉換. 多元表征由于能夠很好展現一個數學知識的多個側面，所以它必然能夠成為非常有利于聯系前后知識的橋梁. 在教學中使用多元表征，可以使學生比較容易理解數學知識產生的緣由，更容易將新學知識納入已有的知識結構中，形成穩固的知識體系.

例2 無理數的多元表征教學

（1）語言表征：無限不循環小數；或者，不能寫成兩個整數之比的數.

（2）符號表征：列舉無理數的代表及符號——圓周率π；2的算術平方根，5的立方根；其他無限不循環小數，如-1.01001000100001…，等等.

（3）操作表征：用逼近法計算的值.

∵ 12 = 1，22 = 4，∴1 < < 2.

∵ 1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，∴ 1.4 < < 1.5.

∵ 1.412 = 1.9881，1.422 = 2.0164，∴ 1.41 < < 1.42.

∵ 1.4142 = 1.999396，1.4152 = 2.002225，

∴ 1.414 < < 1.415.

……

（4）情境表征：發現無理數的歷史故事.

（5）圖形表征：在直角三角形中利用勾股定理構造長度是無理數的線段.

在進行“無理數”的教學時，教師通常較多采用語言表征和符號表征，而忽略了其他表征形式的講解，因此無理數的概念顯得抽象費解，學生無法掌握無理數概念的本質特征.

事實上，“用逼近法計算的值”的操作表征能夠讓學生親身體驗“無限不循環”的含義，對值的大小將有更深切的體會. 同時，通過操作表征，學生探尋“未知”的欲望得到滿足，學習數學的興趣得到激發.

通過講述“發現無理數的歷史故事”，學生了解到無理數的發現經歷了曲折的過程，學生認識到當今數學知識的學習乃是建立在眾多數學家們不懈努力的基礎上，從而學習數學的情感價值觀得到更大的提升. 同時，學生在“數”的學習上明確了擴充的線索：自然數——整數——有理數——實數，在數的認知結構上形成了科學牢固的建構.

在直角三角形中利用勾股定理來構造長度是無理數的線段，讓學生認識到數學來源于生活，而無理數是實實在在地存在于生活周圍的“數”；同時，圖形表征很好地溝通了代數和幾何的內容，使學生認識到代數與幾何的統一性；另外，由于無理數和勾股定理這兩個知識有了交叉節點，學生的知識結構將更加牢固.

3. 增強學生全面審視問題的能力

學生在學習或者解題的過程中，通過問題表征來獲取信息. 一種表征形式通常只能讓學生獲得與問題相關的部分信息，不利于學生全面地認識問題，甚至誤導學生的學習或者阻礙學生解決問題. 相反，如果經過長期的多元表征訓練，學生將會形成全面看待數學問題的習慣，并且善于在各種表征之間靈活轉換，從而避免了因表征的缺漏而誤判題意.

例3 函數y1 = -x2 + 3x - 4，函數y2 = x - 12，求y1 < y2時x的取值范圍.

在教學實踐中我們發現，如果學生偏好于代數符號表征，那么學生往往希望通過不等式去解出x的范圍（錯解如下所示），由于初中還沒有學習一元二次不等式的解法，結果費了不少時間卻沒有得出正確結果.

錯解：y1 < y2需有

-x2 + 3x - 4 < x - 12

x2 - 2x > 8

（x - 1）2 > 9

x > 4.

熟悉函數的多元表征的同學，能夠迅速把求解問題在符號表征和圖形表征之間轉換，因此對問題有了更全面的認識：在圖像上看，y1 < y2也就是y1處于y2的下方，因此采用計算和圖像相結合的辦法解決上述問題（如下所示）.

正解：畫出函數草圖，觀察到y1 < y2的區域分別位于兩函數交點的外側，因此求出交點坐標后，可看圖得出結論.

y = -x2 + 3x - 4，

y = x - 12.

解得：x = -2，

y = -6，x = 4，

y = 0.

因此：x < -2或x > 4.

例4 已知Rt△ABC， ∠BAC = 90°，AC = AB，D在AC上，E在BA的延長線上，BD = CE， BD的延長線交CE于F，求證：△EBF是直角三角形.

又如例4，教學實踐發現，經過多元表征訓練的學生因為對“直角三角形”的理解更為全面，能較快地實現問題的轉化，把 “求證△EBF是直角三角形”表征為“求證∠E + ∠EBF = 90°”，從而更容易想到證明思路.

4. 幫助學生形成最優化的解題策略

多元表征教學，培養了學生對問題全方位的觀察分析能力，使學生在平時的學習中練就了概括、比較、類比等數學思想，元認知監控的能力也相應得到提高，因此學生在面對數學問題時，能夠選擇最優化的策略去解決問題.

例5 計算： + + + + … + .

學生嘗試計算之后發現了困難，然后開始尋求其他解題方法. 有的學生聯想到一根木棒，每次砍掉一半，不斷砍下去……砍了n次，接著這名學生就想到了答案. 也有的學生嘗試用圖形來表征題目，如下圖所示，然后也很快就找到了答案. 這些學生的解題策略得益于平時的多元表征訓練，因此在解題困難時能及時地運用情境表征或圖形表征，把問題轉化為對具體的事物求解，所以能輕松地找到答案.

例6 計算： + + + … + = .

又如例6，學生如果單純依靠計算的技能是很難解決這道計算題的，但如果學生平時經常接受多元表征訓練，對“”這個數字的思考是比較豐富的，能夠采取特別的策略去解題：畫出△ABC，設其面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點A1、B1，則四邊形A1ABB1的面積為，再分別取A1C、B1C的中點A2、B2，A2C、B2C的中點A3、B3，依次取下去……利用這一圖形，就可以直觀地寫出結果.

【參考文獻】

[1]李靜.基于多元表征的初中代數變式教學研究[D].重慶：西南大學，2011.

[2]李靜，宋乃慶，劉志揚. 基于多元表征發展代數思維的教學模式研究[J].西南師范大學學報，2011（6）.

[3]百度：http：//baike.baidu.com/subview/1284/13645654.htm？fr=aladdin.

[4]莫雷.教育心理學[M].廣州：廣東高等教育出版社，2002.