“偏微分方程數值解法”實驗設計

李明霞等

【摘要】“偏微分方程數值解法”是計算數學基礎課，它的發展離不開計算機，因此需要緊密結合程序來完成對算法的實現.本文針對不同類型的方程精心挑選了數值算例，首先通過課堂演示來加深對理論知識的印象，并提高學生興趣；其次布置數值實驗操作促進學生真正了解不同數值格式；最后引進一個建模實例，為其知識未來的應用打好基礎.

【關鍵詞】有限差分方法；有限元方法；收斂速度

“偏微分方程數值解”是一門計算數學方向的公共選修課.本課程的內容主要分為兩部分，即有限差分方法與有限元方法.有限差分方法雖然古老，但在近代才獲得飛速發展.有限元方法始于20世紀40年代，但是分化出不同的方向是近幾十年的事情.這兩種方法之所以能夠在近代獲得重要的應用，源于計算機對算法的高效實現.例如在天氣預報中，由于涉及許多未知量，更跨越較長的時間域，最終要求解的方程組不僅規模大，并且要求必須計算速度足夠快，才能夠準確并及時地預報天氣.沒有計算機以及優化的算法，這是不可能實現的.因此離開程序設計講授這門課，無異于旱地學游泳.

針對學習內容設計適當的程序，不僅能夠鞏固基礎理論知識，還能夠使學生了解到如何利用學科知識解決實際問題，有利于提高學生學習的興趣，促使之將所學知識直接用于自己的研究領域.下面主要從理論驗證和學科具體應用兩個不同的側重點來設計實驗的內容.

第一部分主要針對有限差分方法，對三種不同類型的方程，即雙曲型、拋物型以及橢圓型方程整理課堂演示所需數值實驗，布置數值實驗作業，以鞏固學習效果.所依據的教材為清華大學出版社《偏微分方程數值解》（第二版，陸金甫、關治[2]），以及科學出版社《偏微分方程數值解法》（第二版，孫志忠[3]），部分代碼參考《MATLAB語言常用算法程序集》[1].

第二部分主要為聯系具體學科所涉及的偏微分方程求解問題進行計算.由于時間以及本人知識有限，僅選取了一個與水資源環境相關的實例[4].

一、理論驗證

線性代數方程組采用傳統的求解三對角方程組的追趕法，最終將解隨時間的變化曲線畫出來，可以分析出濱海水位與海潮一樣具有相同周期，但時間上滯后，其水位變化幅度與海岸線的距離具有衰減性，越遠水位變化幅度越小.

這個具有實際應用背景的數值算例的引入，向學生展示了將實際問題概化為模型問題，求數值解，并將所求數值解結合原問題進行解釋的過程，為學生提供了利用學科知識解決具體問題的范例.