正三角形內點與線的奧秘

黃正洪

在數學學習的所有科目中，我最喜歡探索和求解平面幾何，它能給人以無窮的樂趣.我相信同我志趣者都曾迷戀于此道之中，而樂不思蜀，而廢寢忘餐.當然我們不能鼓勵和贊賞這種有點過為的“專一”，但我們還是要提倡這種孜孜不倦的求學精神.也只有進入了一種忘我境界的學子和有了一種不撞南墻心不甘的精神，才有可能愛上這茫茫的學海，才有可能獻身這學海的茫茫.平面幾何圖形是通向無崖學海的一個看似平靜的港灣，但這個平靜的港灣隱含的奧秘卻能引誘人們好奇心靈的開啟.若就《數學學習與研究》2014年第1期的《圓內共點弦定理》一文說事，這其實就是過圓內任意一點的弦與內接多邊形之間的奧秘.若就《數學學習與研究》2014年第3期的《與正方形有關的幾何習題的規律解析》一文說事，這其實就是由任意四邊形與有意拓展出四個正方形的中心點的奧秘.總之，凡平面幾何圖形的點線面都有一定的奧秘可言，只是奧秘有隱藏的多少、大小、深淺的不同而已，當然這些奧秘都是可供我們研討的課題，這些課題都是有待于我們去挖掘和清理的寶藏.只要我們有一定的耐性和求真的功底，只要我們有幾何前輩們據書立說的那種堅忍不拔的精神，在任何一個小的科學領域，在我們闖蕩和開發的思維所及的范疇之內，每一個青少年朋友都將會有所小成，要知道我們現在求證平面幾何習題所用的定理定義也都是幾何前輩們一點點、一點點從小處摳出來的，你看這些成就有多么的偉大啊.既然我們作出了探索學海中奧秘的決定，那么就讓我們從最典型的圓和最簡單的正三角形這類平面圖形開始.只要你勇于面對學海中兇險無比的隱流暗礁，只要你在苦累的求索工程中細心挖掘、篩選和萃取，只要你在萬難面前鍥而不舍，你的老師和同學總有一天會豎起大拇指向你說OK.為自己美好的未來而努力吧！我的青少年朋友！我希望我拋磚引玉的這一小段文字能促使你愛上我們的平面幾何，并由此而走上探索世間奧秘的深藍之路.

我們知道，正三角形的中心既是垂心又是重心更兼內心，此三心共點是它有別于非正三角形的最重要特性，那么正三角形的中心與非心點之間、非心點與邊線之間、邊線與過特殊點的線段之間會隱藏何種奧秘呢？現在就讓我們對此來追蹤求跡：

一、設M是邊長為a的正三角形ABC內的任意一點（正三角形的中心是任意點中的特殊點，當然也包含在這任意點之中，但邊線上的點和頂點則不包含于其中），過M點作該三角形三邊的垂線，則存在M點到三垂足之間的距離之和等

以上是正三角形中的與M點有關的線段的一些有趣的性質（其間還有未開采的寶藏），通過對這些有趣性質的探索，我們對如何探索奧秘應該有了初步的認知，希望同學們能一步一個腳印地在生活和學習中去發現和解釋各種各樣的奧秘，在多問幾個為什么、反復推度、仔細思考的日子里，你的知識慢慢就會增長，你的水平慢慢就會提高.