對流—反應(yīng)—擴(kuò)散邊值問題的有限差分方法求解

張新蕾

【摘要】本文介紹了對流-反應(yīng)-擴(kuò)散方程，及有限差分法和迎風(fēng)差分法的發(fā)展過程.然后對中心差分格式、一維差分格式及迎風(fēng)差分格式做了簡單的說明，并通過一個例子對一般有限差分法和迎風(fēng)差分法在求解對流占優(yōu)的對流-反應(yīng)-擴(kuò)散方程的優(yōu)劣進(jìn)行了比較.

【關(guān)鍵詞】對流占優(yōu)問題；迎風(fēng)差分法

一、對流-反應(yīng)-擴(kuò)散方程

對流-反應(yīng)-擴(kuò)散方程是一類基本的運(yùn)動方程，它對對流-反應(yīng)-擴(kuò)散問題的數(shù)值計(jì)算有著十分重要的理論意義及實(shí)際應(yīng)用問題，可用于環(huán)境科學(xué)、能源開發(fā)、流體力學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域.其中對流-反應(yīng)-擴(kuò)散方程的定解問題是一種物質(zhì)輸運(yùn)與分子擴(kuò)散的物理過程和黏性流體流動的數(shù)學(xué)模型，它可以用來描述河流污染、大氣污染、核污染中污染物質(zhì)的分布，流體的流動和流體中熱傳導(dǎo)等眾多物理現(xiàn)象.由于對流-反應(yīng)-擴(kuò)散方程有著諸多用途，求解此方程的方法一直受到學(xué)者的重視.

二、對流-反應(yīng)-擴(kuò)散方程的解法

有限差分方法自20世紀(jì)50年代以來得到了廣泛的應(yīng)用，該方法概念清晰，方法簡單、直觀.雖然其與變分法相結(jié)合所形成的有限元法更有效，但有限差分還是以其固有特點(diǎn)在數(shù)值計(jì)算中有其重要地位，是應(yīng)用最多的一種數(shù)值方法.為求解由偏微分方程定解問題所構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型，有限差分法是將定解區(qū)域（場區(qū)）離散化為網(wǎng)格離散節(jié)點(diǎn)的集合，并以各離散點(diǎn)上函數(shù)的差商來近似該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，使待求的偏微分方程定解問題轉(zhuǎn)化為一組相應(yīng)的差分方程，根據(jù)差分方程組解出各離散點(diǎn)處的待求函數(shù)值——離散解.

然而，在求解加權(quán)偏微分方程的近似解時，直接使用數(shù)值方法有可能產(chǎn)生嚴(yán)重的問題，例如：振蕩、鎖定及奇異矩陣等其他問題.其原因可能是因?yàn)楹雎粤伺c其中某個具體問題相對應(yīng)的基本規(guī)則.我們以對流-反應(yīng)-擴(kuò)散方程中對流占優(yōu)問題為例，對流占優(yōu)問題對數(shù)值分析的方法的可用性進(jìn)行了分類.有些方法在非對流占優(yōu)問題上可以很好地應(yīng)用，但在對流占優(yōu)問題上卻不能使用.這一點(diǎn)在應(yīng)用BubnovGalerkin方法的檢測函數(shù)設(shè)置的和形函數(shù)相同時尤其明顯.在實(shí)際應(yīng)用中，這些檢測函數(shù)和形函數(shù)通常是有限元方法，也就是需要網(wǎng)格的方法.在以最小能原理為基本思想的結(jié)構(gòu)性分析中，如果是非對流占優(yōu)問題，應(yīng)用BubnovGalerkin方法可以得到對稱矩陣和最優(yōu)近似結(jié)果.但是在對流占優(yōu)問題下，情況卻完全不同，與平流項(xiàng)相關(guān)的矩陣是非對稱矩陣，而且所得出的解也不再是最優(yōu)近似解，結(jié)果中出現(xiàn)了寄生振蕩，這種情況隨著對流項(xiàng)優(yōu)勢的增加而愈發(fā)嚴(yán)重.這不僅導(dǎo)致定性分析的結(jié)果不準(zhǔn)確，甚至?xí)`反基本的物理原則，像熵、濃度的界為正等.我們已經(jīng)知道這種振蕩解產(chǎn)生的原因主要由微分方程中占優(yōu)勢的對流項(xiàng)決定.對流項(xiàng)的作用由一些已知的識別數(shù)決定，像是Peclet數(shù)和Reynolds數(shù)，這些數(shù)越大，那么對流項(xiàng)所占優(yōu)勢越大，解的振蕩越強(qiáng)烈.由此我們引入迎風(fēng)差分法.

迎風(fēng)格式是流體力學(xué)中有限差分法的一種離散格式，由于是采用由下游向上游差分的方法代替微分，看起來似乎是迎風(fēng)而上的差分格式，所以人們又叫迎風(fēng)差分格式.而迎風(fēng)格式又可以分為一階迎風(fēng)格式和二階迎風(fēng)格式，其中，一階迎風(fēng)格式容易獲得不準(zhǔn)確的解，除非劃分足夠細(xì)密的網(wǎng)格，而且有一定的假擴(kuò)散的作用，即人工黏性.為此引入二階迎風(fēng)格式，這種格式可以獲得較準(zhǔn)確的近似解，并且絕對的穩(wěn)定.

因此本文將簡單地介紹一般有限差分法和迎風(fēng)格式，并通過求解一個示例來對一般差分法和二階迎風(fēng)格式的精確度與穩(wěn)定性進(jìn)行比較.

三、迎風(fēng)差分法介紹

對流項(xiàng)優(yōu)勢加強(qiáng)，一般差分法振蕩更加嚴(yán)重.

五、小 結(jié)

由以上示例可知，一般差分法在對流占優(yōu)的情況下所得的近似解會出現(xiàn)振蕩，并且對流項(xiàng)的優(yōu)勢越明顯振蕩越嚴(yán)重.雖然隨著節(jié)點(diǎn)密度的增加振蕩會減輕，但是要得到精確度高的近似解要求所取節(jié)點(diǎn)密度很高.而迎風(fēng)差分法則不存在近似解振蕩的現(xiàn)象，要得到高精度的近似解所取的節(jié)點(diǎn)數(shù)要少于一般差分法，這在計(jì)算上節(jié)約了時間，對計(jì)算機(jī)的要求也有所降低，更加符合最小能量原則.因此，在求解對流-反應(yīng)-擴(kuò)散問題時，迎風(fēng)差分法要優(yōu)于一般差分法.

【參考文獻(xiàn)】

[1]A Review of PetrovGalerkin Stabilization Approaches and

an Extension to Meshfree Methods—ThomasPeter Fries，Hermann G.Matthies 、Institute of Scientific Computing Technical University Braunschweig Brunswick，Germany Informatikbericht Nr.2004-01 March 30，2004.

[2]李榮華，馮果忱.微分方程數(shù)值解法（第三版）.高等教育出版社.