數論整除規律的擴展

李寶林

【摘要】 本文為了證明 “一個數后n位能被2n整除，則這個數能被2n整除”及其逆命題，先從n = 4時入手，將數除以2 得到的商根據n = 1，2，3成立的情況下討論，得到了n = 4時成立，并用類似的方法推廣到一般項. 為了證明“若有一個數，這個數能被2n整除，則它的后n位能被2n整除”這個命題，先從n = 2入手用反證法證明了其成立，然后用類似的方法證明了n = 3時的情況并推廣到一般項. 從而使原有的整除規律其中幾條推廣到了一般項.

【關鍵詞】 整除；整除規律；反證法；擴展

整除規律第二條：若一個數尾數是偶數，則這個數能被2整除；整除規律第四條：若一個數最后兩位能被4整除，則這個數能被4整除；整除規律第八條：若一個數后三位能被8整除，則這個數能被8整除. 我們有理由猜想是否一個數后四位能被16整除，這個數就能被16整除……一個數后n位能被2n整除，則這個數能被2n 整除. 再有，是否一個數能被2n整除 就能得到這個數后n位能被2n整除.

證明：

（一）若有一個數它的后n位能被2n整除，則這個數能被2n整除.

先證明n = 4的情況：若一個數的后4位能被16整除，則這個數能被16整除.

證明：設一個數…wxyz（“…”表示wxyz前面的數，wxyz是這個數的后四位）.因為wxyz Mod16 = 0，則至少z是偶數，那么這個數至少能被2整除. 將這個數除2時除到倒數第5位時有以下兩種情況：

（1）若第5位是奇數，則余下所得的數就和1wxyz除2所得的數相同. 則又有兩種情況：

同理還可以連續除以3個2，在這種情況下猜想成立.

（2）若這個數的倒數第5數位是偶數，則除后4位時就不受倒數第5位的影響. 整除的結果和后4位■所得的效果相同. 對所得的數繼續除2，出現的現象就和前面所討論的一樣了，所以還能連續整除3個2.

綜上所述，若一個數的后4位能被16整除，則這個數能被16整除成立.

同理可證：若一個數的后5位能被32整除，則這個數能被32整除.

推廣到一般式：若有一個數它的后n位能被2n整除，則這個數能被2n整除.

證明同上述，先將這個數除2，根據“它的后n位能被2n整除”這一條件可以推導除得的新數還能被2整除……一直到除完n個2為止.

（二）證明其逆命題：若有一個數，這個數能被2n整除，則它的后n位能被2n整除.

先證明n = 2的情況：若有一個數，它能被4整除，則它的后2位能被4整除.

類似可證明一般式：若有一個數能被2n整除，則這個數的后n位能被2n整除.