芻議一元二次方程根與系數關系在解題中的運用

彭勝生

一元二次方程是初中數學里的重要內容，根與系數的關系又是一元二次方程的重點，這個知識點有著較為廣泛的應用，習題內容豐富，題目的形式靈活多樣，常與幾何、二次函數等問題結合考查，是后續學習和考試的熱點，也是方程理論的重要組成部分.

一、基礎知識

1. 公式的演變過程

2. 知識的使用方法

（1）先把所給的一元二次方程化為一般形式；

（2）注意二次項系數不等于0這個隱含條件；

（3）公式的運用要滿足Δ ≥ 0這個隱含條件. 使Δ ≥ 0這個條件成立的方法有兩種，一是先解出字母的值后代入原方程檢驗，然后舍去不合題意的值. 二是先由 Δ≥ 0確定出字母的取值范圍，然后再做取舍.

3. 三個常用結論

（1）若系數ac < 0，方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）必有一對異號根；

（2）若系數a + b + c = 0，方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）必有一根為1；

（3）若系數a - b + c = 0，方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）必有一根為-1.

二、綜合運用

1. 不解方程，求與根有關的代數式的值

例1 已知：α4 + α2 - 1 = 0，β2 + β - 1 = 0，求β - α2的值.

在解題時經常要運用方程根的概念，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法.

2. 利用常用結論解決問題

例2 已知：關于x的一元二次方程mx2 - （3m + 2）x + 2m + 2 = 0（其中m > 0）. 設方程的兩個實數根分別為x1，x2（x1 < x2）.若y是關于m的函數，且y = x2 - 2x1，求這個函數的解析式.

此題也可利用求根公式求出兩根x1，x2，再代入y = x2 - 2x1，也可得到結果， 但這種方法稍顯煩瑣且計算容易出錯.

3. 利用根與系數的關系構造一元二次方程來解方程

例3 解方程（x2 + 3y2 - 7）2 + |xy - 2| = 0.

4. 已知一根求另一根及未知數的值

5. 由根與系數的關系求待定系數的值

例5 已知x1和x2是關于x的方程kx2 + 4x - 3 = 0的兩根，若△ABC的兩條邊長是該方程的兩根，且這兩邊長的差為2，求k的值.

本題除了要考慮未知系數的取值是否使根的判別式為非負數，還要考慮未知系數的取值是否符合實際問題的意義. 根與系數的關系在數學領域的運用相當廣泛，知識的運用方法靈活多樣，是設計考察創新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯系的試題出現頻率很高，應是同學們重點練習的內容，也要求我們在初中數學教學工作中應倍加重視.