讓圖形動起來

高曉紅

【摘要】 圖形變換在新課程標準中占有重要地位，它對于學生的動手操作能力、空間想象能力具有極強的考查作用. 本文分析了旋轉題型的特點，闡述了幾何旋轉題型在教學中應該由淺入深，逐漸增加綜合性和變化，以鍛煉學生的想象力和思維能力.

【關鍵詞】 初中幾何；圖形；旋轉；變式

初中幾何題中，學生最頭疼的莫過于添加輔助線了，如果再加上旋轉，學生就會更加不知所措，無從下手. 幾何圖形經過旋轉，會出現豐富的變化，對于開發學生的想象力、鍛煉學生的思維能力、提高學生的創造力和解決數學實際問題的能力具有很大的作用[1].

旋轉在幾何中屬于全等位移，盡管圖形的位置發生了變化，但是圖形的形狀、大小都沒有變，因此，在實際的教學過程中，教師要教會學生抓住旋轉的本質，即從“動”中找到“不動”，從而解決問題.

平移和旋轉也是近年來中考題中經常出現的一類問題，并且往往作為壓軸題出現. 總的來說，旋轉可以是繞一點旋轉，也可以是繞一個軸旋轉. 教師在進行這類題目教學時，一定要循序漸進，先讓學生從一些基本題型中找到旋轉中不變的量.

一、基礎入手，發現本質，歸納方法

首先，旋轉是圖形之間主要的變換方式之一，主要考查學生的動手操作能力、空間想象能力等，對于學生的綜合運用能力和創新能力的培養也具有重要意義，因此，這類題型也越來越成為中考題的熱點.

教師在剛剛進行旋轉教學時應該從基礎入手，讓學生在解決問題中明白，旋轉是指圖形中的每個點都繞中心旋轉了相同的角度，組成圖形的線段長度及角度都沒有發生變化，圖形的形狀、大小也沒有發生變化.

如：如圖1，△ABC為等邊三角形，D為△ABC內一點，△ABD經過旋轉后到達△ACP的位置，則：（1）旋轉中心是____；（2）旋轉角度是____；（3）△ADP是____三角形.

二、利用旋轉的特征解決實際問題

學生通過練習，掌握了旋轉的基本特征后，教師可以選擇一些稍微綜合些的題，鍛煉學生解決問題的能力.

例如：如圖2，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP′重合，如果AP = 3，求PP′的長.

解法：∵ △ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP′重合，

∴ AP′=AP，∠CAP′=∠BAP.

∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC = 90°，△PAP′為等腰直角三角形，PP′為斜邊.

此題中，不但有旋轉的知識，還融合了勾股定理的知識，考查的知識點有兩個，因此綜合性更強.

再如：如圖3，直線y = 2x + 2與x軸、y軸分別交于A，B兩點，將△AOB繞點O順時針旋轉90°得到△A1OB1.

（1）在圖中畫出△A1OB1；

（2）設過A，A1，B1，三點的函數解析式為y = ax2 + bx + c，求這個解析式.

解法：（1）如圖4所示.

（2）由題意知A，A1，B1三點的坐標分別是（-1，0），（0，1），（2，0），

∴0 = a - b + c，1 = c，0 = 4a + 2b + c.

本題中旋轉和一次函數知識相結合，綜合了數形問題，是旋轉和數形結合的較簡單題型.

三、利用旋轉的特征，展開旋轉變化，鍛煉學生的思維能力

由于旋轉蘊含很多隱含條件，因此也成為中考題的寵兒，數學專家也常常利用旋轉的特性構建中考題.

例如：如圖5，已知△ABC中，AB = BC = 1，∠ABC = 90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉.

（1）在圖5中，DE交AB于M，DF交BC于N.

① 證明DM = DN；

② 在這一旋轉過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化？若發生變化，請說明是如何變化的；若不發生變化，求出其面積.

（2）繼續旋轉至如圖6的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM = DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）繼續旋轉至如圖7的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM = DN是否仍然成立？請寫出結論，不用證明.

當然，旋轉問題因為涉及的知識較多，對學生的綜合能力及空間想象力要求較高，不是通過一兩道題就可以達到鍛煉目的的，這需要教師由淺入深，一步步慢慢展開旋轉題型的解法和本質，使學生面對旋轉不再害怕.