指數因素分析法的初步探究

姚金江 顏廷法

摘 要：首先以傳統指數因素分析法存在的不合理的地方引起質疑，然后對改良此處的共變影響因素分析理論進行了論證與評價，最后提出了函數分配法，并將其運用到實際生活中與傳統的分析方法相比較。函數分配法的理論基礎與計算過程相對來說比較合理、簡潔，并且在實際生活的應用中發現它的計算結果符合實際情況，在一定程度上解決了傳統方法的缺陷。

關鍵詞：因素分析法；共變影響因素；函數分配法

因素分析法，是利用統計指數體系分析現象總變動中各個因素影響程度的統計學領域的一種分析方法，又被稱為指數因素分析法，它包括連環替代法、定基替代法、差額分析法、指標分解法。指數因素分析法是現代統計學中一種非常重要且實用的方法，它是多元統計分析的一個重要分支。使用這種方法能夠幫助研究者將幾組數據幾個變量間在時間的緯度上進行分析，分析的結果能夠將事物的性質、狀態以及特點用少數能表示事物內在聯系的、固有的、決定事物本質特征的因素。在保持原有信息量的前提下，使用指數因素分析法可以使復雜的數據簡單化。

一、指數的編制

指數理論中的一個核心問題是如何編制統計總指數，它也是能否正確反映社會經濟現象總變動的一個基本前提。總指數種類很多，但個性中體現著共性。以下是幾個共同的需要注意的問題。

（1）合理選擇同度量因素。如上所述，總指數是用來反映不能直接對比，不能直接相加的多種現象總動態。要將不能直接對比、不能直接相加的多種現象轉化為一種可以對比、可以相加的現象，這種轉化需要借助于同度量因素來進行。

（2）質量指標總指數的編制。指數的概念是從商品的價格的變動中產生的。下面用商品價格總指數為例闡述質量指標總指數的編制。

以下為編制商品價格總指數加權綜合法：

[方法一]以某一固定期銷售量為同度量因素：Ip=■。（n代表某固定期）

[方法二]以報告期銷售量為同度量因素：Ip=■。（Pacsche式）

[方法三]以基期銷售量為同度量因素：Ip=■。（Laspeyres式）

若在采用加權綜合法計算總指數的條件不完全具備時，需要采用加權平均法。

（3）質量指標總指數的編制。

以下是數量指標總指數加權綜合法：

[方法一]以某一固定期價格為同度量因素：Iq=■。（n代表某固定期）

[方法二]以報告期價格為同度量因素：Iq=■。（Pacsche式）

[方法三]以基期價格為同度量因素：Iq=■。 （Laspeyres式）

若掌握的數據資料不適合于采用加權綜合法計算數量指標總數時，則需采用加權平均法。

二、指數體系及因素分析

（1）指數的體系和因素分析的關系。一些社會經濟現象的數值變動的解釋，常取決于兩個或多個因素的共同作用。由于各種因素變動的原因不同，就使得各種因素向不同的方向、程度變動著，從而對復雜的社會經濟現象的變動產生不同的影響。在這種情況下，可編制相互聯系的若干指數，組成指數體系。應用統計指數分析現象的總變動時，是從社會經濟現象的內在聯系出發的?？梢姡笖刁w系是由總變動指數和因素變動指數兩類指數組成的。

指數體系與因素分析之間存在著密切的關系，即前者是后者的依據。

（2）總量指標指數的兩因素分析。因素分析的內容主要包括兩個方面：分別是從相對數和絕對數方面來看的，因此，指數體系可表示為相對數形式：■=■×■。絕對數分析：？撞p■q■-？撞p■q■=（？撞p■q■-？撞p0q■）+？撞p■q1-？撞p■q■。

三、指數因素分析法的探索及其應用

（1）函數分配法。定義：已知實數域上的連續函數y=f（m1，m2，…mn），e=min（e1，e2，…en）。根據函數f的構造，要度量mi在y中所起作用的大小，故將y分解為： y=■yi=■kif（m1，m2，…mn），k1+k2+…+kn=1。

定義：yi=kif（m1，m2，…mn）為自變量m1在函數y中所起的作用，并稱之為y對m1的函數分配。已知y=f（m1，m2，…mn），求ki。

假設1（函數分配在加法上的累積性假設） ：已知函數y=m1+m2+…+mn，y對m1，m2，…mn的函數分配分別為y1，y2，…yn。那么yi=■y，即ki=■。特別地，當m1=m2=…=mn時，有y1=y2=…=yn=■y。

假設2（函數分配在乘法上的均勻性假設）： 已知函數y=m1，m2，…mn，y對m1，m2，…mn的函數分配分別為y1，y2，…yn，則當m1=m2=…=mn時，有y1=y2=…=yn=■y。

結論：函數y=m1，m2，…mn，y=m1，m2，…mn？綴Q。y對m1，m2，…mn的函數分配分別為y1=y2=…=yn，則y1=y2=…=yn=■y。

證：由于對于任意的有理數mi，總存在一個足夠小的正數？著i，使得■=ki（ki？綴z），因此我們?。恐?min（？著1，？著2，…？著n），則mi對？著的商都為整數，記■=li（li？綴Z）即mi=？著eli，將其帶入y=m1+m2+…+mn得y=l1l2…ln？著n。

可見函數y可以被分解為l1l2…ln個n維空間的小球？著n，記其中任意一個小球為q=z1，z2，…zn （z1=z2=…=zn=？著），根據假設2，當z1=z2=…=zn =？著時，q對任意一個自變量zi的函數分配都為qi=■=■，由于y=l1l2…lnq，其中l1l2…ln為常數，因此y對mi的函數分配就是l1l2…ln倍的q對zi的函數分配，yi=l1l2…lnq=l1l2…ln■=■。

證明完畢。

（2）函數分配法在指數因素分析中的應用。例1：表1是我國2010年和2011年我國出口主要貨物數量和金額的有關數據，根據以下數據建構指數體系，利用函數分配法分別分析價格和銷售量的變動對銷售額的影響。

解：由以上得到的公式：fx=■？駐y？駐x+y？駐x，fy=■？駐x？駐y+x？駐y，運

用到模型？撞■=？撞■+？撞■中，可得fp=■？駐q？駐p+q0？駐p，fq=■？駐p？駐q+p0？駐q。

由以上數據（表2略）表明，函數分配法有明顯的優勢，因為在該題目中派氏指數[2][3][7]的模型得出的結果在絕對量上夸大了價格因素，縮減了數量因素；而拉氏指數的模型得出的結果在絕對量上夸大了數量因素，縮減了價格因素；函數分配法中，其物價和銷售量產生影響的絕對數分別為205564403.5和-40438840.5，相對數分別為25.5%和-5.0%。我們可以看到，通過函數分配法的計算得到的結果正好介于這兩者之間。并且在計算的環節非常簡便快捷，精確度高，減少了誤差，符合指數分析的發展趨勢。

四、總結及討論

統計指數因素分析方法最早的理論基礎是由拉氏物價指數和派氏物量指數所構成的指數體系，它在各種社會經濟現象變動因素分析中發揮了極其重要的作用。雖然該理論存在一定的缺陷，但是在眾多優秀國內外專家、學者的研究探索下，該理論得到一定程度的完善。目前，出現了很多有影響的改進理論，如理想指數理論、函數指數理論、共變影響因素理論和共變影響分配理論等。這些理論和設想在一定程度上克服了傳統因素分析理論的缺陷，但只是片面地對問題進行了轉嫁，使數學理論與社會生活實際分析相脫離，造成公式的無意義化，都沒能從根本上解決這個問題。

參考文獻：

[1]趙建明.關于統計指數編制方法的因素分析法[J].鷺江職業大

學學報，2000（4）.

[2]帕爾科夫斯.指數理論與經濟現實[M].北京：中國統計出版社，

2004.

[3]朱建平，孫小素.應用統計學[M].北京：清華大學出版社，2009.

（1. 山東郯城小埠嶺初級中學，2.山東臨沂大學理學院）

（項目資助：山東省自然基金，ZR2011FL017，大學生創新創業項目：201310452011）