提高數學認知能力

季菊

【摘要】 數學認知能力是人類最重要的認知能力之一. 而課堂是教師與學生雙邊的活動，課堂的目標就是為了給學生營造輕松、快樂的學習環境，培養他們對數學學習的興趣. 結合教學實際，筆者闡述了培養學生數學認知能力的幾點建議，以供探討.

【關鍵詞】 數學認知能力；內涵；策略；反思

在教學中，我們常常發現，學生善于解決常規問題，而不善于解決非常規的問題，更不善于發現和提出問題. 我們也經常聽學生說，課上講的時候能聽得懂，回家作業不會做；也經常發現，自己反復強調的題，考試時仍然死搬硬套，表述時邏輯混亂等，究其原因，是學生在數學認知方面的能力略顯不足. 這種教學上的“后天失調”現象嚴重影響著創新型人才的培養. 因此，重視對學生認知能力的培養，是課堂教學中的重中之重.

一、采用多種策略，培養數學認知能力

在數學教學中，“認知”是一種重要的心理活動. 數學認知能力，就是對數學知識（經驗）再度呈現時的認知能力. 培養學生認知能力的關鍵在于教師. 如果教師課堂問題情境常規化，思維過程簡單化，那么只會降低學生的認知水平. 因此，教師要更新教育思想，改進教學方法，將數學課堂教學任務建立在學生已有知識基礎之上，充分調動學生學習的積極性，采用多種策略培養學生的數學認知能力.

1. 創設問題情境，培養興趣，為培養數學認知能力打下基礎

學習數學的關鍵是“興趣”，“興趣”是求知欲的源泉. 在導入新課時，為了激發學生的學習興趣，結合教學內容，設置相應的問題情境，讓學生在一個一個問題中集中精力，產生參與的動機和自主探究的欲望，從而培養數學認知能力. 如：學習“垂徑定理”時，投影留園的圓洞門，問：“留園的大門可以看作是什么幾何圖形？”學生回答是“弓形”，老師拿出已經準備好的弓形紙片，讓學生對折，又問：“對折后，可以得出哪些相等的量？”學生回答：有弧相等、弦相等. 老師繼續問：“對折后得到的線段是什么？還具有什么性質？”由此得到垂徑定理的性質. 又比如教學“同類項”時，可以這樣問：“物以類聚，人以群分”告訴我們什么道理？接著讓學生回憶家里的衣櫥和廚房里的碗櫥，讓學生回答：這些告訴我們什么？再由此引出同類項的概念. 這樣的教學活動，利用學生熟悉的實物或生活經驗，讓學生經歷由具體實物抽象成幾何圖形的過程，既發展了學生的幾何直覺，逐步建立實物與圖形的關系，又使學生產生新奇感和成就感，使學生對新知識的學習充滿熱情，為數學認知能力的加強打下良好基礎.

2. 引導學生感受知識的遷移過程，加強數學認知能力的培養

在數學課堂教學中，如果教師能有效地利用知識的遷移，不但有利于鞏固已學得的知識、技能和概念，而且有利于培養學生舉一反三、觸類旁通的學習能力. 特別是學生對已學知識已經牢固掌握，利用已學知識去分析、探討相似內容的知識，加強知識的類比，是有利于知識和技能的正向遷移的. 如：在學習一元一次不等式的解法時，可以讓學生回憶一元一次方程的解法，并找出兩種解法之間的異同點；又如：學習二次函數時，先回憶一元二次方程的知識，找到它們之間的聯系等. 在教學中，可采用“以類比促遷移”，引導學生由此及彼，“以舊學新”來掌握新知識，達到加強數學認知能力的目的.

3. 指導學生撰寫數學小論文，提高數學認知能力

任何一種知識的掌握和技能的形成，都有一個由理解到表達的過程. 所以在平時的教學過程中，指導學生去撰寫數學小論文，內容可以是學習過程中的新發現，可以是解題過程中由困惑到解惑的過程，也可以是數學解題方法的總結，如一題多解或一題多變，等等. 將學生的小論文進行課內交流，選擇優秀的推薦發表在校刊或向雜志社投稿，學生的寫作熱情高漲. 練習寫作小論文，讓學生對數學知識的推理過程產生了極大的興趣，又讓學生在勤奮努力不斷進取的過程中積累豐富經驗教訓，再加以及時總結，可以使經驗變得更系統，教訓記得更深刻. 而且寫小論文的過程還是學生不斷探索創新的過程，它要求學生在千變萬化的問題里，用科學的態度去觀察、分析、整理，從而把握本質、掌握規律，并用來指導解決其他數學問題，從而提高了數學認知能力.

二、通過觀察、聯想、驗證等方法解題，完善數學認知能力

觀察是一種感性認識，是一種直覺思維過程，是我們認識事物最基本的途徑. 聯想是由一種事物想到另一種事物的一種綜合思維過程，在科學活動中起到“腳手架”的作用，因此，在教學過程中，讓學生在反復地使用“觀察—聯想—驗證”的思路中，尋找到解決問題的正確途徑，擴大數學認知能力的培養.

1. 觀察——準確解題的前提條件

細致的觀察有助于正確地解題，解決數學問題時，邊觀察邊思考，在觀察中找出問題的特點，從而使問題順利解決. 如：

例1 已知：關于x的一元二次方程（a - b）x2 + （b - c）x + c - a = 0的兩根相等，求證：2a = b + c.

分析 仔細觀察方程，可以發現，當x = 1時，a - b + b - c + c - a = 0，這說明x = 1是一元二次方程的根，據此，可以找到準確的解題途徑.

2. 聯想——簡捷解題的一把金鑰匙

聯想是數學解題中的一種思維方法，即根據問題中所提供的信息，展開廣泛的聯想，使問題由繁到簡、由難到易、由數到形、由未知向已知轉化，從而達到快速規范、準確簡捷解題的目的.

如：由■聯想到勾股定理，由a2 = （b + c）（b - c）可以聯想到相交弦定理或者射影定理，由a2可以聯想到面積公式等.

例2 已知（b - c）2 - 4（a - b）（c - a） = 0，且a ≠ 0，求■的值.

分析 由于題設條件與根的判別式Δ = b2 - 4ac相類似，聯想到構造關于x的一元二次方程（a - b）x2 + （b - c）x + c - a = 0，由Δ = 0可知方程有2個相等的實數根，這樣就將例2轉化為例1，并求得結果為2.

通過觀察、聯想、驗證等方法解題，為學生的認知能力的完善奠定相應的基礎. 可見，培養學生的認知能力并不等于專門研究各類難題的解題技巧. 正確的方法應該是，低起點，讓學生參與決策，并且可以用上他們自己的解題思路. 當學生遇到障礙時，要引導學生自己去排除障礙. 從而積累更多的數學經驗，逐步向高層次的數學認知能力轉化.

三、利用反思教育，鞏固數學認知能力

反思是一種較為高級的思維活動. 反思在培養學生的數學認知能力中有著不可低估的作用. 在數學教學中，師生雙方不僅要盡可能多地暴露思維過程，而且要適時地引導學生進行反思，只有如此，才能使學生在紛繁中理出頭緒，在歧路前明確方向，在多種思路中選擇最佳.

1. 概念教學的反思

在學習概念的過程中，由于各種原因，常常會出現錯誤，而且錯誤的原因比較隱蔽，學生往往摸不著頭緒. 此時，教師的點撥應注意要充分暴露失誤的原因，讓學生從中獲得反思的對象信息，在反思中彌補知識上的不足和思維上的缺陷. 如：在教學“有理數與無理數”時，知道了π是無理數后，要求學生思考：“■，■，2π是無理數嗎？”在部分學生做錯后，提醒學生相互質疑，反思這個問題，找出問題的關鍵是什么. 通過學生對概念的反思，能更好地掌握知識，鞏固數學認知能力.

2. 解題過程及規律的反思

在解題過程中，教師一方面要參與指導，為學生做出示范，另一方面要注意引導學生自己去反思，諸如審題時要選擇正確而又簡便的解題思路，計算（或證明）后要審視自己的解題過程（或證明過程）. 另外，對一些常見的規律要讓學生自己歸納出來，這樣，學生的認知能力才能在原有的基礎上有所提升.

如：已知函數y = x2 + x的圖像向右平移a個單位后得到函數y = x2 - 3x + 2的圖像，求a的值.

很多同學在解這道題時，都是把函數y = x2 + x變形為函數y = （x + 0.5）2 - 0.25，再利用左加右減的法則，得到函數y = （x + 0.5 - a）2 - 0.25，再把函數展開，去求a的值. 但是這里的計算非常復雜，很難求得a的值. 這時，可以提醒學生另辟蹊徑，不能再用常規方法去解題了. 可以設置如下問題，來引導學生反思：（1）拋物線在左右平移時，對稱軸會不會發生變化？如何變化？（2）對稱軸平移的距離與函數左右平移的距離之間有什么關系？這時學生會發現，利用兩個函數的對稱軸去求a的值要比常規方法簡單多了.

這樣層層遞進的提問，引導學生反思解題的過程，總結解題的規律，使學生茅塞頓開，思維順暢，啟迪了學生的智慧，鞏固了學生的數學認知能力.

總之，利用課堂實例來培養學生的數學認知能力，既讓學生從心理上更加接受，能夠積極地參與到課堂中來，讓他們體會到數學學習的快樂，幫助他們樹立自信，又教會學生數學的方法與思維，更利于建設和諧高效的初中數學課堂.