讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“串”起來

周秀蘭

當(dāng)提到數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，很多人馬上會(huì)想到“題海戰(zhàn)術(shù)”，無法把它和素質(zhì)教學(xué)相聯(lián)系，其實(shí)這是一種片面的理解. 如果我們能把對教學(xué)活動(dòng)的主體的認(rèn)識從教師的教轉(zhuǎn)到學(xué)生的學(xué)上來，自然就會(huì)把學(xué)生課外獨(dú)立的解題活動(dòng)看作是數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的一個(gè)重要形式，習(xí)題教學(xué)也就從“題海戰(zhàn)術(shù)”轉(zhuǎn)化為能力培養(yǎng).

在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，要采取各種有力措施，發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生通過積極思考，學(xué)會(huì)獨(dú)立地解答數(shù)學(xué)習(xí)題，充分發(fā)揮分析問題和解決問題的能力，這樣才能改變以往的“題海戰(zhàn)術(shù)”.

一、教給學(xué)生分析問題的方法

在批改學(xué)生作業(yè)的時(shí)候，老師會(huì)經(jīng)常嘆息學(xué)生不會(huì)做題，講過的也不會(huì)解. 其實(shí)主要的原因還是缺乏分析問題和處理問題的方法. 如果學(xué)生只學(xué)習(xí)了知識而未學(xué)會(huì)相應(yīng)的方法，就不能在知識和問題之間架起橋梁，如學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的不加分析就亂寫而出錯(cuò)，就是由于這個(gè)原因. 因此數(shù)學(xué)教師要善于發(fā)掘教材中的方法因素，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的解題能力才有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

例：蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級上冊155頁提到，一次函數(shù)y = kx + b的圖像是由正比例函數(shù)y = kx的圖像沿y軸向上（b > 0）或向下（b < 0）平移|b|個(gè)單位長度得到的一條直線.

對于一次函數(shù)中的幾何變換問題，我設(shè)計(jì)了下面幾個(gè)問題：

（1）將直線l1向上平移2個(gè)單位后，直線的解析式變?yōu)開_______.

（2）將直線l1向左平移3個(gè)單位后，求平移后直線的解析式.

（3）求直線l1關(guān)于y軸對稱的直線l3的解析式.

（4）將直線l1繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，求旋轉(zhuǎn)后的直線l4的解析式.

（5）如圖2，若將直線AB沿直線AM折疊，B將落在x軸上的B′處，求直線AM的解析式.

通過這組題，讓學(xué)生了解到一次函數(shù)中的幾何變換問題. 幾何變換包括平移、翻折、旋轉(zhuǎn). 直線的幾何變換本質(zhì)是點(diǎn)的變換，找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)變換以后的對應(yīng)點(diǎn)，是解決此類問題的關(guān)鍵.

通過對數(shù)學(xué)問題的一題多變，提供適當(dāng)?shù)闹R鋪墊，向?qū)W生展示知識的發(fā)生、形成及發(fā)展的過程，能讓學(xué)生體會(huì)到知識是如何從已有知識中逐漸演變或發(fā)展而來的，從而理解知識的來龍去脈，形成一個(gè)知識網(wǎng)絡(luò).

二、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的素質(zhì)

吉爾福特：“正是在發(fā)散思維中，我們看到了創(chuàng)造性思維最明顯的標(biāo)志. ”可見，發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的重要組成部分. 在全面提高學(xué)生素質(zhì)的今天，發(fā)散思維的培養(yǎng)尤為重要.

中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最薄弱的是數(shù)學(xué)的反思，正處于思維發(fā)展階段的中學(xué)生不可能一次地直接把握數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)，必須經(jīng)過多次的反復(fù)思考、深入研究，即堅(jiān)持反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，才可能洞察、理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征.

（1）圖中共有多少個(gè)三角形？請把它表示出來；

（2）圖中有哪幾對相似三角形？請把它們表示出來，并說明理由.

解答過程（略）.

如果把上題做如下的變式：如圖5，△ABC與△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，點(diǎn)E在線段BC上，∠BAC=∠EDF = 90°，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與線段CA相交于點(diǎn)Q.圖中的△BPE∽△CEQ，理由（略）.若連接PQ，當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，△BPE∽△EPQ.

在教學(xué)中，我把這兩道題放在了一起，讓學(xué)生分析共同點(diǎn)，在我引導(dǎo)下，學(xué)生又歸納出在相似三角形中這樣的基本圖形（如圖6），如圖6，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上.若∠B = ∠C = ∠EDF = α，則△BDE∽△CFD. 當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，則△BDE∽△CFD∽△DFE.

這對學(xué)生以后的解題會(huì)有很大的幫助.

試題改編、變式訓(xùn)練是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)效性的一個(gè)有效策略.教師要潛心研讀教材，立足課本中的例題、習(xí)題，進(jìn)行變式、引申、重組精心設(shè)計(jì)，讓學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)的真諦.

三、訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維的能力

我們在習(xí)題教學(xué)中，不能滿足于一種學(xué)習(xí)方法，必須根據(jù)學(xué)生好強(qiáng)的心理，鼓勵(lì)學(xué)生打開思路，以此來訓(xùn)練學(xué)生的求異思維. 這對學(xué)生學(xué)會(huì)靈活的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的智力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，具有極其重要的作用. 在學(xué)生的思維過程中，引導(dǎo)學(xué)生全面分析各種學(xué)習(xí)方法的利弊、優(yōu)劣關(guān)系. 這不僅是對學(xué)習(xí)方法的認(rèn)可，更重要的是開拓學(xué)生的思維空間，拓寬學(xué)生的思維視野，學(xué)生的視野廣闊了，想象豐富了，理念也新穎了.

例如：如圖7，已知⊙O中，弦AB垂直于直徑CD，垂足為P，AB = 6，CP = 1，則⊙O的半徑為 .

方法一：如圖8，連接AO，運(yùn)用垂徑定理，得出AP = BP = 3，設(shè)⊙O的半徑為R，運(yùn)用勾股定理，列出方程：R2 = 32 + （R - 1）2，從而求出R.

方法二：根據(jù)相交弦定理，可得AP·BP = CP·DP，可先求出DP，從而求出R.

方法三：如圖9，連接AC，AD，根據(jù)CD是⊙O的直徑，得出∠CAD = 90°，再根據(jù)弦AB垂直于直徑CD，用相似來解決.

方法四：在圖9中，根據(jù)射影定理，可得AP2 = CP·DP，可先求出DP，從而求出R.

通過一題多解，既能促使學(xué)生溝通知識點(diǎn)間的聯(lián)系，又培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，同時(shí)也讓學(xué)生通過對比、小結(jié)，得出自己的體會(huì)，充分發(fā)掘自身的潛能，從而提高自己的解題能力. 這樣，不僅引導(dǎo)學(xué)生多方法、多視角思考問題和發(fā)現(xiàn)問題，形成良好的思維品質(zhì)，而且使學(xué)生感受到成功的喜悅和增強(qiáng)自信心，也極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和濃厚的興趣，從而在很大程度上培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性.

總之，在習(xí)題教學(xué)中，不在于一節(jié)課講了幾道題，而在于學(xué)生的思維得到了多少發(fā)展. 老師在教學(xué)時(shí)力求促使學(xué)生參與研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)：其一，通過自身活動(dòng)所得到的知識與能力比起旁人硬塞給他的，理解要更透徹，掌握得更靈活，使用也更得心應(yīng)手，還可以保持較長久的記憶；其二，發(fā)現(xiàn)是一種樂趣，因而通過“再創(chuàng)造”來進(jìn)行學(xué)習(xí)，這就更能引起學(xué)生的興趣，學(xué)生的學(xué)習(xí)具有更大的內(nèi)驅(qū)力. 關(guān)注“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，就要讓學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考問題”，具體地說，就是讓學(xué)生學(xué)習(xí)思考和解決問題的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和思想方法，積累數(shù)學(xué)知識和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這些都是學(xué)生終身學(xué)習(xí)的寶貴財(cái)富.