以課堂例題再探究啟發學生思維

朱建軍

摘 要：立足課本例題，挖掘一些一題多解的思維方法，提出有助于學生各種思維習慣形成的解題方法，傳授給學生，讓他們從中學會思考。這對于學生的逆向思維和發散思維的能力及學生分析能力的培養是行之有效的。

關鍵詞：課堂例題；探究；啟發；思維

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）13-089-1

縱觀近幾年來的江蘇高考數學試題，源于課本的題型占據了一定的份量，我們重視例題教學的同時，還要探索解題途徑的過程，這實質上是不斷變更的過程，一個題目立足已給定的條件，從試題中挖掘一些一題多解的思維方法，提出有助于學生各種思維習慣形成的解題方法，傳教給學生，讓他們從中學會思考。

必修五第二章P43例題3

在等差數列{an}中，已知第1項到第10項的和為310，第11項到第20項的和為910，求第21項到第30項的和。

解：設等差數列的首項為a1，公差為d，由題意，根據前10項的和為310，第11項到第20項的和為910，帶入基本量后，可以解得：a1=4，d=6，從而，利用等差數列前n項和的公式，首項為a21，末項為a30，可計算得結果為1510.

從上例中我們發現：等差數列的前10項和，次10項和，后10項和成等差數列.

進一步，引導學生思考，你能得出更一般的結論嗎？

結論：等差數列的前n項和，次n項和，后n項和，……也成等差數列。

在教學過程中，我們還可變換等價條件，改造題型，添加題設、結論等各種方式達到舉一反三，觸類旁通的效果，這對于學生的逆向思維和發散思維的能力及學生分析能力的培養是一種行之有效的方法。

變題：在等差數列{an}中，S10=100，S100=10，求S110.

思考一：利用上述性質求解，簡化運算。

解析：設等差數列的公差為d，根據上述性質，可得：前10項和，第11項到第20項的和，……，第101項到第110項的和成等差數列。所以，新數列前10項和為原數列的前100項和為10，運算可得，公差d=-22.從而，新數列前11項和為原數列的前110項和為-110.

思考二：利用基本量方法，代數方程思想求解。

解析：設等差數列的首項為a1，公差為d，由題意，直接代入等差數列前n項和公式，可得a1=1099100，d=-1150.所以，S110=-110.

此種思路是教學著重強調的常規解法，學生比較容易接受與理解。

思考三：利用函數思想，待定系數法求解。

解析：設等差數列{an}的前n項和為：Sn=An2+Bn（A，B為常數），則代入數據，可解得A=-11100，B=11110，所以，S110=-110.

思考四：利用本身屬性（定義）求解。

解析：因為{an}為等差數列，所以第11項到第20項的和為-90.利用等差數列下標和的性質，可以得到：第1項加第110項的和等于第11項加第100項的和均為-2，因而，利用等差數列前110項和公式，可得S110=-110.

思考五：利用整體思想求解。

解析：在蘇教版必修五教科書后練習中，我們曾今推導過一個結論：前p+q項的和為-（p+q）.對照上述結論，可得：S110=-110.

思考六：構造新數列求解。

解析：設等差數列的首項為a1，公差為d，由題意，根據等差數列前n項和公式，可以得到，{Snn}是公差為d2的等差數列.可得，S110=-110.

思考七：利用直線中三點共線的充要條件解題。

解析：在等差數列{an}中，點（n，Snn），n=1，2，3，…是斜率為d2的直線上的一個點列，則構造三點A（10，S1010），B（100，S100100），C（110，S110110），由三點共線，他們的斜率相等，即：kAB=kAC.從而，可計算得到S110=-110.

對于以上等差數列中求和問題，提供了多種解題方法，其思考的過程就是將諸多知識和能力進行綜合運用的過程。如果在平常的教學過程中，能夠堅持這樣啟發引導，必將能激發學生思維，拓寬學生分析問題的思路，培養學生發散思維能力，達到解決問題的目的，從而提高學生的綜合素質。

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[2]韓軍利.高中數學中的一題多解問題.數學學習與研究，2014（03）.