與一次函數有關的面積問題

梁雄

將一次函數與面積綜合在一起進行考查，是目前的一類熱點題型，充分體現了數形結合與分類討論的思想。下面針對一次函數解析式與面積互求的兩個類型舉例介紹。

類型一：利用一次函數解析式求面積

例1：如圖1，已知直線y=kx+b經過點A（0，6），且平行于直線y=-2x。

（1）求該函數的解析式；

（2）如果這條直線經過點P（m，2），求m的值；

（3）求直線y=kx+b和直線OP與坐標軸所圍成的圖形的面積。

解析：（1）因為所求的直線與已知直線y=-2x平行，

又因為該直線經過點A（0，6），易求該函數的解析式：y=-2x+6；

（2）因為直線y=-2x+6經過點P（m，2），所以m=2；

（3）由直線y=-2x+6可以求出C（3，0）與坐標軸圍成的圖形有兩種可能：

一種是與x軸圍成的△OPC，則S△OCP= OC·yp= ×3×2=3；

另一種是與y軸圍成的△OPA，則S△OCA= OA·xp= ×6×2=6。

例2.如圖2，直線y=-x+4與x軸，y軸分別交于點A和點B，另一條直線l經過點C（2，0），且把△AOB分成兩部分。

（1）若△AOB被分成面積相等的兩部分，求直線l的表達式；

（2）若△AOB被分成的兩部分面積比為1∶7，求直線l的表達式；

解析：（1）由直線y=-x+4可得A（4，0），B（0，4），

當直線l把△AOB分成面積相等的兩部分時，

易求直線l的解析式為：y=-2x+4。

（2）當直線l把△AOB分成的兩部分面積比為1∶7時，要分兩種情況：

設當直線l的斜率k>0時，直線l將與AB相交于D點，如圖3，由題意知：S△CDA= S△AOB

因為S△AOB= AO·BO=8，所以S△CDA=1，

又因為AC=3，所以S△CDA的AC邊上的高為1，即D點的縱坐標為1，代入直線AB解析式中知此點坐標為（3，1）

則直線l的解析式為：y=x-2

設當直線l的斜率k<0時，直線l將與直線OB相交，交點為E，

如圖3，由面積關系可得交點E坐標為（0，1），

同理可求出直線l的解析式為：y=-2x+1。

例3.如圖4，△AOB為正三角形，點B坐標為（2，0），過點C（-2，0）作直線l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面積相等，求直線l的函數解析式。

解析：設E點坐標為（x，y），因為S△ADE = S△DCO，

所以S△AOB=S△ECB，正△AOB中，OB=2

所以S△AOB= ，在△ECB中，BC=OB+OC=4，所以E點坐標為（ ， ），因為C點坐標為（-2，0），直線l經過點C和點E所以，直線l的函數解析式為y= x+ 。

（作者單位 四川省成都市雙慶中學）

編輯 代敏麗