深挖題后規律，破解一類習題

曾春濤

一、高考題引入

例題：（2012年廣東省理科第20題）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1： + =1（a>b>0）的離心率e= ，且橢圓C1上的點到Q（0，2）的距離的最大值為3.

（1）求橢圓C1的方程。

（2）在橢圓C1上，是否存在點M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及相對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由。

分析：線性規劃的應用之一是求最值，這里采用線性規劃的方向去解決。題目中橢圓C1： + =1（a>b>0）及其圍住的區域為可行域，區域內的點P（x，y）到點Q（0，2）的距離為目標函數z= ，即x2+（y-2）2=z2，表示以（0，2）為圓心，z為半徑的圓。要使得目標函數z最大，即使圓的半徑最大。如圖1、圖2所示，必須是圓與橢圓外切（圖2）的時候，才能滿足題目的要求。

于是有如下解法：

解：由e= 得： = ，又因為c2=a2-b2

得a2=3b2，橢圓方程化為x2+3y2=3b2

以（0，2）為圓心，z為半徑的圓方程為：x2+（y-2）2=z2，要使得z最大，必須是圓與橢圓相切的時候，即Δ=0時。聯立橢圓方程和圓方程得：x2+（y-2）2=z2x2+3y2=3b2即為：2y2+4y-3b2-4+z2=0，Δ=24b2-8z2+48

由Δ=0，解得：b2= 。由題可知：z=3，所以b2=1，a2=3，橢圓的方程為： +y2=1

點評：從線性規劃出發，將橢圓上動點到定點距離的最大值問題，轉換為圓與橢圓相切的問題，動中求靜，變中求定，距離最大值點即為橢圓與目標圓的切點。

二、問題的拓展與探究

在數學學習的過程中，對公式、定理、法則的學習往往都是從特殊開始，通過總結歸納得出來的，經過證明后，成為一般性結論，又使用它們來解決相關的數學問題。

上面的例題具有一定的特殊性，目標函數所對的圓心Q點固定為（0，2），目標函數所對的最大值固定為3，橢圓的離心率也固定為 。從解得的結果分析：橢圓與目標函數所對的圓的交點恰好是橢圓的下頂點。依據上面的三個條件，是否能求出交點不是橢圓的下頂點的橢圓方程，即：是否可以推廣到如下更一般的形式呢？

推廣1：在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1： + =1（a>b>0）的離心率e，且橢圓C1上的點到Q（0，m）的距離的最大值為r（r>|m|），求橢圓C1的方程。

命題1：如果有上面推廣的條件，那么c2=e2r2-m2。

推廣2：在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1： + =1（a>b>0）的離心率e，且橢圓C1上的點到Q（0，m）的距離的最小值為r（0

命題2：如果有上面推廣的條件，那么c2= r2+m2。

命題1的證明如下，命題2的證明從略。

證明：以（0，m）為圓心，r為半徑的圓方程為：x2+（y-m）2=r2，要使得r最大，必須是圓與橢圓相切的時候，即Δ=0時。聯立橢圓方程和圓方程得：

x2+（y-m）2=r2b2x2+a2y2=a2b2

即為：c2y2+2b2my-b2m2-a2b2+b2r2=0，Δ=4b2m2-4c2（-b2m2-a2b2+b2r2）

由Δ=0，解得：c2=e2r2-m2

點評：得到橢圓的e、c與圓心縱坐標m、圓半徑r四者之間的一個關系式，可以解決一個動點與橢圓距離相關的最值、取值范圍的問題。

三、掌握規律，破解一類題

練習1：在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1： + =1（a>b>0）的離心率e= ，且橢圓C1上的點到Q（0，3）的距離的最大值為5，求橢圓C1的方程。

分析：本題是完全仿照2012年廣東省理科第20題改編的一個題目，由上面命題的結論知c2=6，結合e= ，求得a2=10，b2=4，橢圓方程為 + =1。

橢圓的最值問題具有綜合性強、涉及知識面廣而且常含有變量的一類難題，也是教學中的一個難點。最值問題中的點點距離最值時，除利用通常的函數與方程思想、數形結合思想、轉化與化歸等數學思想方法外，我們不妨從線性規劃的角度，建立目標函數，化動為靜，轉換為橢圓與圓相切的問題，甚至可以得到通性通法，解決橢圓中點點距離最值問題的一類題目。

（作者單位 廣東省東莞市塘廈中學）

編輯 代敏麗