淺談遞推數列求通項公式

涂德倫

數列知識是高考中的重要考查內容，而求數列的通項公式是遞推數列考題的常見題型，這類問題可通過構建新數列進行代換，使遞推關系式簡化，這樣就把原數列變形轉化為等差數列、等比數列等容易處理的數列，使問題由難變易，化陌生為熟悉，根據不同的遞推關系式，采用相應的變形手段，達到轉化的目的，從而找到解題的突破口和關鍵點，它可以培養學生的觀察能力、理解能力和邏輯思維能力。下面通過具體的例題來探討和歸納遞推數列求通項的常用類型和策略方法。

類型一：形如an+1=an+f（n）的遞推式

例1.已知數列{an}滿足a1= ，an+1=an+ ，求an的值。

解：由條件可知：an+1-an= = = -

分別令n=1，2，3，…，（n-1），代入上式得（n-1）個等式累加之，即（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）=（1- ）+（ - ）+（ - ）+…+（ - ）

所以an-a1=1- ，∵a1= ，∴an= +1- = -

思路點撥：把原遞推公式轉化為an+1-an=f（n），利用累加法（逐差相加法）求解。

類型二：形如an+1=f（n）an的遞推式

例2.已知數列{an}滿足a1= ，an+1= an，求an的值。

解：由條件知 = ，分別令n=1，2，3，…，（n-1），代入上式得（n-1）個等式累乘之，即

· · ·…· = × × ×…× ？圯 =

又∵a1= ，∴an=

思路點撥：把原遞推公式轉化為 =f（n），利用累乘法（逐商相乘法）求解。

總之，求數列通項公式的方法并不滿足以上所述，對于同一問題的求解也不僅是一種方法，只有在平時學習與探究過程中不斷地體會與總結，要知道總結方法比做題更重要！方法產生于具體數學內容的學習過程中，我們只有將知識與方法學活，才能做到游刃有余。

（作者單位 重慶市潼南第一中學校）

編輯 代敏麗