以計算思維為導向的組合數學課程建設與實踐

楊松濤 張宗利

摘要：計算思維是目前學術界關注的熱點問題，科學思維能力的提高是促進學習能力和創新能力最重要的因素之一。針對計算機專業“組合數學”課程的特點，總結實際教學中的工作經驗以及面臨的主要問題，將計算思維思想融入課堂教學中，把知識運用的綜合性、靈活性和探索性發揮到極致，讓學生充分體驗數學之美，為其它課程建設提供了有益的探索。

關鍵詞：計算思維;組合數學;教學改革

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2014）33-0077-02

隨著計算速度的持續增加，計算機可以解決許多大型的問題，然而計算機不能獨立運行，它需要通過編程來控制。這些程序的核心往往是求解實際問題的組合學算法。而且，對于這些算法，運行時間效率和存儲需求分析需要更多的組合學思想。組合學問題在生活中隨處可見，組合數學的思想和技巧不僅用于傳統的自然科學領域，而且也用于社會科學、生物科學、信息科學等領域。同時，大量的研究試圖理解初學者的認知過程，特別是如何將數學巧妙地融合到課堂教學中，提升其他課程的教學質量。在Piaget認知模型中，抽象思維和邏輯推理的關鍵理論是數學，而計算思維是一種新穎的思維方式，有助于培養抽象思維和邏輯思維以及鍛煉解決實際問題的能力。計算思維概念首先由Jeannette Wing提出，Jeannette Wing認為計算思維貫穿于所有學科并被廣泛的應用。[1]Denning認為計算思維不是新事物，它持續蘊含在多個學科中。但是，我們可以從嶄新的角度理解計算思維的概念。[2]計算思維修正了計算機科學等同于計算機編程的錯誤觀點。許多研究者特別關注計算思維驅動下能否深層次地解決問題，特別在數學理論得到充分運用的領域[3]。

一、計算思維能力的培養

近年來，計算思維能力的培養一直是學術界討論的焦點問題。從表面上看，計算思維涉及的是人們的一種固有思維方式。但是如果深入分析，它真正涉及的是人們如何充分利用計算思維提供的理念，改變了人們分析和解決問題的能力[4]。我們犯的最大錯誤可能就是試圖全面強調實踐，而忽略了理論知識的積累，或者試圖全面強調理論，而忽略了工程實踐的運用。我們的首要問題是重新思考教學模式的改革，從而激發了以下問題的探索：如何體現計算機教育的核心價值？如何在“現實世界”情景中教數學，利用問題驅動的教學方式來激發和介紹數學思想？如何盡量把學生的注意力集中在解決問題的數學思想上？如何將科學的思維方式運用到教學理論和工程實踐中，增強分析和解決實際問題能力？

雖然研究者們對于計算思維的概念在細節方面還存在著一些不同的見解，但是，對于計算思維的關鍵理念的認識是一致的。第一，計算思維是利用計算科學的根本理論來解決問題和設計系統的一種方法。第二，計算思維意味著在不同層次建立待解決問題的抽象，以便更有效的理解問題、分析問題和解決問題;第三，計算思維意味著將數學理論充分運用到工程實踐問題中，試圖將待解決問題抽象為數學模型，以有效的、合理的和安全的方式來解決問題;第四，計算思維意味著從社會、經濟、文化等各方面考慮問題，真正地融入人類的活動，更重要的是用以求解問題、管理日常生活的計算概念，以致不再表現為一種抽象的哲學概念;第五，計算思維是人類思維在計算科學中的體現，決非要使人類像計算機那樣地思考，而是人們借助計算機開發出更復雜的工具來解決人們面臨的更復雜的問題。

二、組合數學課程中的計算思維

科學、工程和技術被廣泛地認為是改革和經濟增長的主要推動力。數學是現代教育的關鍵理論，是我們描述、解決問題的主要工具，用于對問題形式化描述。組合數學不同于其它數學分支之處在于：來源于實踐，又應用于實踐。組合數學是計算機出現以后迅速發展起來的一門數學分支。計算機所處理的對象是離散的數據，所以離散對象的處理就成了計算機科學的核心，而研究離散對象的科學恰恰就是組合數學。組合數學的發展改變了傳統數學中分析和代數占統治地位的局面。本文倡導將計算思維融入組合數學教學之中，通過科學思維方式的指導，提高學生的實踐能力和創新能力。

在數學模型中，使用最多的是各種組合數學模型。由于組合數學問題的難度較大，建立組合數學模型需要有很好的數學功底，這個過程最能體現思維的推理性和嚴密性，建模過程中充分體現了分類、分治和遞歸等思維方法。首先，各種計數問題都可考慮建立組合數學模型，遞推關系是組合數學中最常用模型。雖然不討論數學規律而直接利用遞推關系也可以在理論上解決回溯法計數問題，但先求解組合數學的遞推模型再計數可以大大地減低計算的時間復雜度。其次，平面分割問題是現實生活中經常涉及的一類問題，由于其靈活多變，常常讓人們感到棘手。但是，我們只要能夠挖掘出數據之間的關系和數據變化的規律，能夠在繁雜的數據中找到有價值的序，往往可使問題得以簡化，方便了問題的求解。以下3個例子是組合數學中的典型問題，解決這種類型問題通常蘊藏了計算思維思想。

例1：假設有1分、2分、4分，…，2t分的硬幣，如果將n分的紙幣兌換為硬幣，問一共有多少種兌換方法？

例2：設在平面上有n條封閉曲線，任何兩條曲線恰好相交于兩點，而且任何三條曲線不相交于同一點，問這些曲線把平面分割成的區域個數。

例3：一個凸n邊形中，通過不相交于n邊形內部的對角線，n邊形被拆分成若干三角形，拆分數目為Catalan數。

計算思維也稱為構造思維，就是構造數學模型和方法來解決問題，圖1描述了使用計算思維解題的思路和步驟。同時，以上例題的解決啟發學生思考以下問題：

采用什么樣的構造方法建立數學模型，模型有什么特點？

如果一個問題對應多個數學模型，按照什么標準進行選擇？

建立的模型是否正確，是否能夠借助計算機得以實現？

本文所討論的以計算思維為基礎的“組合數學”課程，重點強調計算思維不屬于計算機科學家，它應當是每個人的基本技能。要想讓每個人都真誠地、發自內心地理解和接受計算思維的重要性需要一些時間，該過程的核心是改變個人的思維習慣。不管計算思維能力的培養需要多少資金和時間，我們都把它看成是一項投資。像任何有意義的投資一樣，它會產生成果——解決問題能力和創新能力的提高。計算思維能力的培養能夠發揮學生的聰明才智，使其有更多的時間從事創造性的、只有人腦才能做的個性化工作。

三、基于計算思維的組合數學課程建設與實踐

許多計算機專業的學生患有“數學焦慮癥”，比較困難地理解數學概念。這種困難的部分原因可能是由于心理因素，其中數學通常呈現給學生的是重點放在定理和證明上。表1列出了組合數學課程學習中面臨的主要問題和解決辦法。

表1 學習障礙和措施分析

最大的障礙 最有效的方法

對數學缺乏興趣 教師選擇合適的教材，認真備課，合理估計學生的基礎能力，保證學生在學習過程中能夠“聽懂課”。只有這樣，才能在一定程度上提高學生的課堂參與度

缺乏獨立思考，自主學習能力差 淡化考試形式和改變評價體制，迫使學生注重平時的課堂學習，刺激學生主動參與到學習的過程中

師生之間缺乏課外交流 加強與學生的學術交流、情感交流，幫助學生解答疑難困惑

所學知識與實際脫節 針對問題作引導式指導，選擇靈活、多變的工程案例，使學生不受固定模式的限制，做到真正的創新

缺乏理論知識的綜合運用 形成一個完整的、統一的體系，使學生更準確、更系統、更完整、更牢固地掌握知識，更靈活地運用知識，便于學生的記憶、回憶、應用以及提高知識應用的準確率，使學生的思維品質得到優化，提高學生的實踐、創新能力

我們堅信只要具備兩個重要因素，任何學生都可以克服數學理論學習的障礙，這兩個因素就是洞察力和勇氣。洞察力是深入分析和解決問題的能力，勇氣將你的洞察力變為行動，盡管在行動中會不可避免地遇到各種痛苦。

針對高校現有的講授組合數學課程的教學方法，我們提出了將“計算思維”引入“組合數學”課程的建議，該建議得到了學校和學院的認可。我們采用項目驅動式和問題驅動式方法盡可能地采用聯系實際的、具有工程背景的案例，同時努力揭示相關領域的各種問題的本質。除了課堂講解以外，課下討論和實踐環節也是非常重要的。在科學思維的指導下，學生的獨立分析、解決問題的能力和團隊合作解決問題的能力都得以提高。表2描述了具體的教學安排。

表2 “組合數學”課程教學安排

教學內容 學時 課堂教學學時 討論學時 自學內容

排列與組合 8 4 4 逆向思維

遞推關系與生成函數 8 4 4 目標轉化思想

二分圖匹配 8 4 4

組合設計 12 6 6 構造性思維

在課堂教學中，我們逐步引入計算思維的概念，展開經常性的課堂討論，使學生樸素的、本能的、潛在的思維能力得以充分發揮。在課外，學生通過自學的方式自覺訓練和調整思維模式。雖然，有意識地訓練計算思維需要一個漫長的過程，但是，經過不斷的自我感悟、自我訓練，這樣堅持下去就會有所收益。實踐證明，學生在創新工作中存在不足，其主要原因不是他們欠缺基礎知識，深層次的原因是他們沒有培養起利于創新的思維方式，缺乏科學的思維方法。

四、結語

針對“組合數學”課程的特點，綜合考慮學校的具體教學情況和學生的自身條件，積極開展該課程建設和實踐改革。我們將計算思維融入到該課程的目的是使學生具備科學的思維指導思想，提高學生理解、分析和解決實際問題的能力，激發和調動學生的學習興趣，發掘學生的潛力，促進創新能力的培養，對計算機專業的課堂教學改革進行了有益的探索。

參考文獻：

[1]Wing J M. Computational Thinking [J].Communication of the ACM，2006，49（3）：33-35.

[2]Denning P J. The profession of IT：Beyond computational thinking [J].Communications of the ACM，2009，52（6）：28-30.

[3]陳國良，董榮勝.計算思維與大學計算機基礎教育[J].中國大學教學，2011，（1）：7-11.

[4]李廉.計算思維-概念與挑戰[J].中國大學教學，2012，（1）：7-12.

（責任編輯：劉翠枝）