良好數學思維習慣養成在數學學習中的重要性

曾歆　劉海峰　馮智源

【摘要】審題是解決數學問題的第一步，無論你說它有多么重要都不足為過。從題干中提取的關鍵詞往往是解決問題的出發點，即解決問題的思路所在。數學是一門博大精深的學科，數學思想是數學的精髓，因此十分有必要在學習數學的過程中體會數學思想，培養自己的數學思維。另外，學會總結歸納是應付各類典型習題的不二捷徑。

【關鍵詞】審題 數學思想 總結歸納 思維習慣

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）04-0141-02

一、審題是解題的前提條件和重要途徑

對題中的關鍵詞進行重點分析是解題的主要途徑。下面通過兩個簡單的例子說明審題重要性。

[例1] 設f（x）是周期為2a的連續函數，證明：存在一點x0使得f（x0）=f（x0+a）

分析：由函數周期為2a很容易得到f（x0）=f（x0+2a）。乍一看該題再也無法下筆。這時候只要仔細審題便會發現除了周期之外，還有一個關鍵詞：連續函數。回想一下連續函數的一些常用性質無非就是零點定理、介值定理、最大最小值定理等知識點。進而想到構造函數g（x）=f（x）-f（x+a），于是根據g（a）=f（a）-f（2a），g（0）=f（0）-f（a）=f（2a）-f（a）知g（a）g（0）≤0；利用零點定理易知存在一點f（x0）=f（x0+a）使得，問題就迎刃而解了。

[例2]對兩個有限集合，通過數數的方式我們就可以了解它們的大小（即所含元素多還是少），由此還可以獲知"部分小于全體"這一似乎是真理性的結論。僅從集合所含元素的多少這一角度出發，討論命題“部分小于全體”的真偽。建議你設計一種比較集合大小的方法，并用你的方法論證你的觀點。

分析：這是我校高等數學期中考試的一道試題。很多同學讀完題目后不知所措。對關鍵詞進行分析最重要，這時就需要考生認真審題，仔細推敲。就此題而言，只要將目光聚焦在“有限”二字上就有可能發現解題途徑。顯然由“有限集合”很自然的想到無限集合的情況。綜合考慮有限、無限集合的情況， 通過在兩個集合的元素間建立一個一一映射，可以比較集合的大小。

簡答：1）對有限集合，部分小于全體的結論是正確的；2）對于無限集合，因為有理數集合可以與實數集合之間建立一一對應的關系，所以有理數集合與實數集合一樣大。因此部分小于全體對無窮集合而言不再正確。

通過上面兩個例子可以看出，審題是解題的必經途徑，而審題的常用方法是對題目中的關鍵詞進行仔細推敲，從中發現題目與我們已經掌握的知識之間的銜接途徑，為解題找到可行的切入點。

二、掌握數學基礎知識，養成良好的數學思維習慣對于學好數學非常重要

養成良好的數學思維習慣不僅是學好數學的重要因素，同時也為其他學科的學習打下良好的基礎。下面通過幾個例子談談養成數學思維習慣的重要性。

（一）分析法在高等數學中的應用

[例3]設函數f（x）的定義域為（-L，L），證明必存在（-L，L）上的偶函數g（x）及奇函數h（x），使得f（x）=g（x）+h（x）。

分析：當一些問題不明朗時，分析法是探索問題解題途徑的一種有效方法。我們由假設入手尋找所需要的奇函數和偶函數的表達式應該是什么？

證明：假設存在題中這樣的g（x）及h（x），則應有：

（二）反證法在高等數學中的應用

（三）換元法在高等數學中的應用

這種處理方式的優點是導數作為一種計算手段可以在解題過程中得到應用。因此，在高等數學的學習過程中，不同的計算手段其繁簡程度不同，借助等效思想利用簡單的方法可以解決復雜的問題。

（五）數學歸納思想在高等數學中的應用

歸納思想是數學上的一種重要的思維方式，加強這個知識點的訓練不僅在數學上有其需求，而且歸納思想的習慣養成對于我們今后工作生活方面都有益處。比如下面問題：

[例7]證明貝努利不等式：（x1+1）（x2+1）L（xn+1）≥1+x1+x2+L+xn，其中x1，x2，L，xn為同號且大于1的數。

這種關于自然數的命題，常常使用數學歸納法進行求解。

證明：當n=1的時候，此式取等號；

假設n=k時，不等式成立，即（x1+1）（x2+1）L（xk+1）≥1+x1+x2+L+xk；

則當n=k+1時：

（x1+1）（x2+1）L（xk+1+1）≥（1+x1+x2+L+xk）（xk+1+1）=1+x1+x2+L+xk+xk+1+x1xk+1+x2xk+1+L+xkxk+1≥1+x1+x2+L+xk+xk+1，結論成立。

于是對任意自然數n有（x1+1）（x2+1）L（xn+1）≥1+x1+x2+L+xn

三、總結歸納思想在高等數學學習中重要性的認識

古人云，欲先善其事，必先利其器。注重對已經學過的知識進行歸納總結就是學習數學的最好利器。下面通過幾個例子來簡單說明總結歸納思想的重要性。

最后再看一個例子體會一下對題型進行歸納總結的益處。

由以上分析及運算過程可以看出：幾乎每一步的思路都是我們在平時學習中所積累的經驗的指導下進行的。因此善于歸納總結題型及運算技巧、常見的處理問題方法才是解題的主旨。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系編.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007，04.

[2]陳仲.高等數學競賽題解析教程[M].南京：東南大學出版社，2012，01.

作者簡介：

曾歆（1995-），男，四川瀘州人，本科生，研究方向：信號處理。 劉海峰（1962-），男，江蘇邳州人，博士，教授，研究方向：文本信息處理。

馮智源（1995-），女，河南方城縣人，本科生， 研究方向：信號處理。