曲柄搖桿機構桿長的確定

李宏亮， 侯悅民， 黃民， 王雪雁

（北京信息科技大學機電工程學院，北京100192）

0 引言

在機構設計時，我們不但要了解機構的內在性能關系，而且要統籌各種性能指標，這樣才能獲得良好的設計。而在平面連桿設計中，各桿長度不同或點在連桿上的位置不同，連桿點的軌跡則不同，因此，平面連桿機構的設計主要是確定各桿長度比。各桿長度確定以后，各桿相應的運動規律也隨之確定。所以，在設計平面連桿機構之前，我們應該首先進行平面連桿機構的運動分析。對平面連桿機構運動分析的方法有很多種（如解析法、圖解法等）。本文主要采用了速度瞬心法進行了平面連桿機構的運動分析，在已知極位夾角θ和搖桿的兩個極點C1、C2的情況下，利用三角形正弦、余弦定理計算出了各桿的長度，得出了不同傳動角下的桿長比。

1 利用速度瞬心法進行平面連桿機構運動分析

平面連桿機構運動分析是為了了解機構的運動性能，用速度瞬心法［1-2］進行運動分析是十分方便的。在執行機構中，通常要求空回行程比工作行程快一些，以此來提高工作效率，這要求機構具有急回特性，所以，本文給出了極位夾角θ作為已知條件之一。用速度瞬心法進行平面連桿機構運動分析也主要是研究機構在極位時的特性。

設有一曲柄搖桿機構，曲柄AB為原動件，各桿之間直接通過轉動副連接，所以，瞬心位置很容易直接確定（即位于各轉動副A、B、C、D的中心處），分別記為P12、P23、P34、P41，然而，構件 2、4 對應的瞬心 P24不能直觀地予以確定。但根據三心定理，對于構件2、3、4來說，P24必在P23及P34的連線上，而對于構件2、1、4來說，P24必在P12及P14的連線上，故上述兩線的交點即為瞬心P24。瞬心位置如圖1所示。

如果曲柄AB以等角速度ω2轉動，便可以計算得出搖桿轉動角速度 ω4、搖桿C點速度vc。

圖1 曲柄搖桿機構及瞬心位置

因為已確定的瞬心P24為構件2、4的重合點，故有∶

在較多平面連桿機構應用的場合中，搖桿的運動范圍往往是已知的，那么就會在搖桿工作范圍的兩端形成兩個搖桿的極限位置，分別對應著兩個極位C1D、C2D。所以有

根據式（1），有

圖2 轉動極E

經分析，P14P24不可能為0，所以，只能，這樣，就得出了瞬心P12和瞬心P24是重合的。所以，搖桿的極點 C1、C2與 A、B兩點一定在同一條直線上。

因此，如果搖桿 的極點 C1、C2兩點位置是已知的，我們可以選取其中一點任做一條不過另外極點的直線。在極位夾角θ或行程速比系數K確定的情況下，過另外一點做直線使其與水平線相交，兩線交角為 θ。連接極點 C1、C2，過極點C1、C2確定直線的中點做垂線，那么點D必落在這條中垂線上。由此會設計出無限組連桿機構，得出的曲柄搖桿機構如圖2所示。

在這無限組連桿機構中，有的因為不滿足曲柄搖桿機構的桿長條件而被淘汰，有的會因不能保證機構傳力性能良好而淘汰，這樣就會得出部分合理的機構。然后，根據我們所需的設計參數，選擇出合適的機構。

2 各桿桿長關系的確定［3-5］

通過上述分析，得出搖桿的極點C1、C2與A、B三點共線的結論，那么它們就會與桿1、桿4構成三角形。因此，我們可以通過三角形的余弦定理來確定各桿之間的關系，主要是利用機構在極位時的幾何關系來建立的。設桿 2長為 a，桿 3長為 b，桿 4長為 c，桿 1長為H，擺角為φ，極位夾角為θ。

在△AC1C2中根據余弦定理有：

在△AC2D 中，設∠AC2D=β，則有：

其中，設∠B2C2E=α，β＝α－（φ－θ）/2。

因為，在△EC2D中，根據三角形內角和為180°，很容易得出：

而在 Rt△AB2E 中，設 EB2=h，tan（θ/2）=a/h，則：

所以，在 Rt△EB2C2中，設 BE=h，則 tanα=h/b，故：

而在△DFC2中，因△DC1C2為等腰三角形，故

將式（13）左右兩邊同時除以2c，可得：

圖3 最小傳動角

在機構運行構成中，搖桿與連桿的夾角∠BCD的大小是變化的，該角即為傳動角γ，為保證機構傳動性能良好，應使 γmin≥40°～50°。對于曲柄搖桿機構，γmin出現在桿1與桿2共線處，如圖3所示。

表1 桿長計算關系式

通過上面各式，在一些參數已知的情況下便可計算出各桿桿長。如果搖桿行程、極位夾角已知，我們可以根據要求自行選擇傳動角。那么根據上述關系式便可求出各桿桿長。現將部分情況列于表1。

3 利用計算機計算各桿桿長

根據前面建立各桿桿長關系式，我們通過編寫程序求出了各桿桿長。已知曲柄搖桿機構的極位夾角θ＝30°，搖桿的兩個極點距離H＝2.5m。傳動角γ從40°開始以0.2°遞增，在給定曲柄長度的情況下，根據式（6）、式（14）、式（15）計算出桿4和桿1的長度。

如果給定曲柄長度a=1.15 m，通過式（6）計算得出：b=2.214 8 m。通過式（14）、式（15）聯立，可求出桿4長c、桿1長d。因為數據較多，繪制出在不同傳動角情況下，桿4長c、桿1長d的數據曲線，如圖4所示。

圖4 桿長c、d數據曲線

我們知道，在設計時，應該注意鉸鏈A點不能選在劣弧段上，否則機構將不能滿足運動連續性要求。因為這時機構的兩個極位DC1、DC2將分別在兩個不連通的可行域內。所以我們在設計的時候，所得的β越大越好。而且，隨著鉸鏈A點的下移，傳動角也越來越小，直至為0°，但為保證機構傳動性能良好，應使 γmin≥40°～50°，因此，β 也會在相對應的范圍內。

計算出各桿桿長以后，計算擺角φ、β的大小，擺角φ、β的數據曲線如圖5所示。

圖5 角β和擺角φ的數據曲線

4 結語

本文主要是在通過給定機構極位夾角和搖桿工作位置的情況下，通過簡單的幾何關系來研究曲柄搖桿機構各桿桿長，得出的各桿桿長可為曲柄搖桿機構的設計作為參考。但曲柄搖桿機構根據搖桿上下位置的不同，計算傳動角γ的公式也不同。本文只采用了其中的一種進行了計算，而且是在其中一個桿長已知的情況下進行計算的。在現有的資料中，采用優化的方法進行設計是比較多的，但優化設計的方法極其復雜，而且，如果建立的模型不合理，或者選擇的優化方法不準確，是很難計算出各桿桿長的。

［參考文獻］

［1］孫恒.機械原理［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］李宏亮，郝靜如.用瞬心法和解析法分析四桿機構急回特性［J］.機械工程師，2012（2）：21-23.

［3］華大年，華志宏.連桿機構設計與應用創新［M］.北京：機械工業出版社，2008.

［4］謝伯康.曲柄搖桿機構圖解綜合的一種新方法［J］.西安工業學院學報，1992（2）：46-48.

［5］謝伯康，郭存娣.曲柄搖桿機構解析綜合的通用桿長關系式［J］.西安工業學院學報，1992（4）：56-57.