幾種不同GPS高程擬合方案的比較

陳智堯，胡文禮

（1.湖北省測(cè)繪成果檔案館，湖北 武漢 430071；

2.中南勘察設(shè)計(jì)院（湖北）有限責(zé)任公司，湖北 武漢 430071）

幾種不同GPS高程擬合方案的比較

陳智堯1，胡文禮2

（1.湖北省測(cè)繪成果檔案館，湖北 武漢 430071；

2.中南勘察設(shè)計(jì)院（湖北）有限責(zé)任公司，湖北 武漢 430071）

在GPS高程測(cè)量中，通過(guò)應(yīng)用多面函數(shù)與二元多項(xiàng)式擬合模型的對(duì)比，說(shuō)明僅用內(nèi)、外符合精度來(lái)評(píng)估擬合高程的精度，仍存在一定的風(fēng)險(xiǎn)。結(jié)合實(shí)例指出，GPS水準(zhǔn)點(diǎn)在項(xiàng)目區(qū)分布的重要性及應(yīng)注意的事項(xiàng)。

多面函數(shù)；二元多項(xiàng)式；GPS水準(zhǔn)

1 GPS高程在高程測(cè)量中的應(yīng)用

在精度允許的情況下， GPS高程測(cè)量因其省時(shí)省工已廣泛應(yīng)用于工程測(cè)繪項(xiàng)目中，替代傳統(tǒng)的水準(zhǔn)測(cè)量、三角高程測(cè)量解決高程控制問(wèn)題。特別是在一些利用傳統(tǒng)水準(zhǔn)測(cè)量傳遞高程困難地區(qū)，如山地、湖泊河流阻隔區(qū)域都不利于水準(zhǔn)測(cè)量，起算控制點(diǎn)稀少或偏離項(xiàng)目區(qū)域不利于高程的傳遞。

在精度評(píng)估方面，通常由殘差的極值與殘差計(jì)算出的中誤差2項(xiàng)來(lái)評(píng)估擬合模型的精度。

殘差＝已知值－擬合值

式中，n為殘差的個(gè)數(shù)。

已知值由經(jīng)過(guò)水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)的GPS點(diǎn)求得。這些具有水準(zhǔn)高程的GPS點(diǎn)又稱為GPS水準(zhǔn)點(diǎn)。GPS水準(zhǔn)點(diǎn)在擬合計(jì)算中，一部分作為擬合使用稱之為控制點(diǎn)，另一部分作為外部檢測(cè)稱之為檢測(cè)點(diǎn)。由控制點(diǎn)計(jì)算的精度評(píng)估值稱之為內(nèi)符合精度，由檢測(cè)點(diǎn)計(jì)算的評(píng)估值稱之為外符合精度。

2 GPS高程的原理與擬合模型

2.1 基本原理

GPS高程主要是解決GPS測(cè)量中的高程異常（ζ）的問(wèn)題。我國(guó)采用的是正常高（h）系統(tǒng)，GPS測(cè)量中能直接獲得的是大地高（H），3者之間的關(guān)系為：

當(dāng)前解決高程異常最常見(jiàn)的方法是重力法與GPS水準(zhǔn)法。重力法在精度上雖低于GPS水準(zhǔn)法，但在山區(qū)及水準(zhǔn)測(cè)量傳遞困難地區(qū)仍然是首選。本文主要討論GPS水準(zhǔn)法。

GPS水準(zhǔn)法是在項(xiàng)目區(qū)內(nèi)測(cè)定一定數(shù)量的GPS水準(zhǔn)點(diǎn)，根據(jù)水準(zhǔn)點(diǎn)上的高程異常值，選擇一個(gè)曲面擬合模型，建立GPS點(diǎn)坐標(biāo)值與高程異常值之間的關(guān)系，再求出其他GPS點(diǎn)上的正常高。

GPS擬合模型較多，本文僅以最常用的二元多項(xiàng)式與多面函數(shù)法進(jìn)行討論。

2.2 二元多項(xiàng)式

二元多項(xiàng)式為：

式中ɑ0，ɑ1……為待定系數(shù)。如果分別取前6、10、15項(xiàng)，則依次稱之為二次、三次、四次曲面擬合模型。

2.3 多面函數(shù)

多面函數(shù)擬合法，是由美國(guó)哈笛于1971年提出，其基本思想是任何一個(gè)規(guī)則或不規(guī)則的連續(xù)曲面均可以由若干簡(jiǎn)單面(或稱單值數(shù)學(xué)面)來(lái)疊加逼近。多面疊加的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，ɑi為待定系數(shù)；Q（x, y ,xi,yi）為參加插值計(jì)算的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)面，又稱為多面函數(shù)的核函數(shù)，（x，y）為待定坐標(biāo)，（xi，yi）為已知點(diǎn)坐標(biāo)；n為簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)面的張數(shù)或多層疊加面的層數(shù)。

核函數(shù)可任意選擇，一般都采用具有對(duì)稱性的距離型，如：

正雙曲面倒雙曲面

三次曲面

式中，δ為光滑系數(shù)。

3 多方案實(shí)例擬合分析

3.1 項(xiàng)目區(qū)情況介紹

本項(xiàng)目區(qū)有GPS點(diǎn)58個(gè)，其中33個(gè)點(diǎn)進(jìn)行了三等以上的水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)（圖1中帶★的點(diǎn)）。項(xiàng)目區(qū)地理環(huán)境東北角為丘陵，東南有一湖泊。由于受制于地理環(huán)境，丘陵與湖泊區(qū)域水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)明顯少于西部區(qū)域。項(xiàng)目最終擬合精度暫定為cm級(jí)。

為精化描述區(qū)域地理位置，展點(diǎn)圖按4×4格網(wǎng)描述。如格網(wǎng)43，表示展點(diǎn)圖中第4行第3列所在區(qū)域（見(jiàn)圖1）。

圖1 測(cè)區(qū)GPS展點(diǎn)圖

3.2 擬合方案比較

分別采用二元多項(xiàng)式中的二次項(xiàng)式、三次項(xiàng)式及四次項(xiàng)式以及多面函數(shù)中的正雙曲面、倒雙曲面、三次曲面6種方法進(jìn)行擬合，其擬合精度見(jiàn)表1。

表1 6種方案擬合精度表/m

3.3 方案分析

由表1可以看出，采用多面函數(shù)擬合其內(nèi)符合與外部檢測(cè)精度優(yōu)于二元多項(xiàng)式。但并不能說(shuō)明多面函數(shù)法在未知點(diǎn)（待擬合點(diǎn)或區(qū)域）精度優(yōu)于二元多項(xiàng)式。

由表2可以看出，多項(xiàng)式3方案在擬合未知點(diǎn)時(shí)，不同方案擬合結(jié)果差異性較小，而多面函數(shù)在選用不同擬合曲面時(shí)其擬合結(jié)果差異性較大。更重要的是多面函數(shù)與多項(xiàng)式擬合結(jié)果也存在較大差異。

表2 方案統(tǒng)計(jì)分析

4 不同方案比較的目的

1）掌控精度風(fēng)險(xiǎn)。從擬合后的內(nèi)外檢測(cè)精度（表1）來(lái)看，該項(xiàng)目采用多面函數(shù)可以達(dá)到mm級(jí)，用多項(xiàng)式也能保證到cm級(jí)。但從表2比較的結(jié)果來(lái)看，似乎外檢測(cè)精度合格的也不能完全說(shuō)明項(xiàng)目的可靠性。分析其原因，主要問(wèn)題出在水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)地理位置上。如項(xiàng)目東南部（格網(wǎng)43、44），受到湖泊地理環(huán)境影響；項(xiàng)目東北部（格網(wǎng)14）、西北部（格網(wǎng)11、12）受山區(qū)地理環(huán)境影響，均限制了水準(zhǔn)高程聯(lián)測(cè)。GPS擬合高程的目的是解決水準(zhǔn)不易傳遞地區(qū)高程控制問(wèn)題，受地理環(huán)境的限制，在這些區(qū)域已知控制點(diǎn)與外部檢測(cè)點(diǎn)都不可能過(guò)多，僅用不具有代表性的內(nèi)部符合與外部檢測(cè)精度來(lái)說(shuō)明項(xiàng)目精度，可靠性必然大打折扣。

2）改進(jìn)設(shè)計(jì)。通過(guò)多方案的比較，說(shuō)明此項(xiàng)目受地理位置限制，存在精度風(fēng)險(xiǎn)。為了提高擬合高程的可靠性，有必要采取其他方法彌補(bǔ)局部區(qū)域高程控制點(diǎn)稀少問(wèn)題，如增補(bǔ)重力、三角高程測(cè)量等。

3）合理選擇擬合模型。從6種擬合方案比較可以看出，不同方案擬合結(jié)果之差會(huì)超出預(yù)期。通過(guò)進(jìn)一步分析（分析數(shù)據(jù)涉密未列出），發(fā)現(xiàn)未知點(diǎn)高程最大擬合之差會(huì)出現(xiàn)在倒雙曲函數(shù)。剔除此模型后，其他幾個(gè)模型最大擬合之差明顯好轉(zhuǎn)。通過(guò)比較，可以選擇更適合項(xiàng)目的模型。

5 結(jié) 語(yǔ)

在精度允許的前提下，借助GPS水準(zhǔn)高程擬合方案取代傳統(tǒng)獲取高程的方法確實(shí)可行。為確保其擬合高程的可靠性，要注意以下幾點(diǎn)：①控制點(diǎn)應(yīng)盡量全面控制其項(xiàng)目區(qū)域，避免“外插式”擬合；②控制點(diǎn)、檢測(cè)點(diǎn)不在于數(shù)量，而應(yīng)注重在項(xiàng)目區(qū)分布的質(zhì)量（均勻可控）；③在有條件的情況下，檢測(cè)點(diǎn)、控制點(diǎn)的聯(lián)測(cè)起算點(diǎn)應(yīng)盡量多，少用支線聯(lián)測(cè)，避免聯(lián)測(cè)起算標(biāo)志沉降帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)；④在GPS高程控制點(diǎn)達(dá)到一定數(shù)量時(shí)，多面函數(shù)擬合更具有優(yōu)越性。

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P216

B

1672-4623（2014）03-0087-02

10.11709/j.issn.1672-4623.2014.03.028

陳智堯，高級(jí)工程師，從事測(cè)繪成果檔案分析、整理及大地控制成果提供應(yīng)用等工作。

2014-03-06。