為“數學地思考”而教

陳紅娟

數學地思考是數學知識的本質特征。主要體現在數學的思維方式，涉及抽象思維、形象思維、統計觀念、合情推理與演繹推理能力等諸多方面。這些數學思維方式幫助人們面臨各種問題情境（包括非數學問題）時，能夠從數學的角度去思考問題，能夠發現其中所存在的數學現象，并運用數學的知識與方法去解決問題。張奠宙先生曾說：數學是“思考、思考、再思考”的學科。圍繞數學思考展開的數學教學，可以稱為“數學思考”教學。

朱樂平老師執教的“用字母表示數”一課，為我們在如何體現“數學思考”方面做了很好的詮釋。“用字母表示數”是由具體的、確定的數過渡到用字母表示抽象的、可變的數，是學生從算術走向代數認識上的一個飛躍。如何在學生的頭腦中實現由“具體的數”向“抽象的字母”跨越呢？這也是小學數學教學中大家感興趣的課題，其內容主要包括用字母表示數、用字母表示運算定律和計算公式、用字母表示數量關系三部分內容。本文擬結合朱老師執教的這一課例，就如何進行“數學思考”的教學提出看法。

一、課例剖析

【片段描述1】用字母表示具體數——撲克牌中的字母

課件逐個出示撲克牌A、2、3……10，學生一起依次往下說；接著著重引出J、Q、K，代替11、12、13；然后老師挑出兩張（出示：7和K），這兩張哪一張大，為什么？（等待20秒左右，學生逐漸活躍起來發表不同意見）

【分析】

撲克牌中的字母和數列中的字母本身僅代表某一個特定的數。此時，字母和數之間存在的一一對應關系，在兒童的數學理解中，撲克牌中的字母可以“代替”某一個數，顯然，“代替”不等于“表示”。片段一中“老師挑出兩張（出示：7和K），這兩張哪一張大，為什么？” 朱老師這樣的啟發式提問，引導學生參與有條理地思考并表達自己的思考過程。當然我們應注意逐步發展學生有條理的思考和表達能力，可以讓學生經歷佐證、對具體情況進行解釋、運用自己的語言說明理由、嚴格證明等階段。

【片段描述2】用字母表示計算公式——儲蓄罐中的字母表示式子

出示一個儲蓄罐，在發現罐子里面硬幣的個數可以用C表示后，接連出示4個問題：1.又放進了3個硬幣是多少？C+3；2.拿出2個硬幣是多少？C-2；3.每個罐里都有C個硬幣，那么3個儲蓄罐里有幾個硬幣？C×3；4.一個儲蓄罐的錢平均分給5個人，每個人得多少？C÷5。

【分析】

我們知道，要理解字母可以表示“未知數”本身并不難，但要真正理解“含有字母的式子”可以表示一種運算，又可以表示運算結果，對學生而言有相當的難度。在學生形成的經驗中，一切含有運算符號的式子，都只能表示一種運算。“C+3”既可以表示將C和3合并到一起的運算或過程，同時它也是一個獨立的對象（概念的兩重性，“過程—對象”），通俗地說，“C+3”也是一個結果。

該片段朱老師運用學生熟悉儲蓄罐的學情，通過大量的學生猜測、解釋、歸納，得出“都是有可能的，這樣有很多種可能的”用字母C表示。在這樣的基礎上，朱老師以“我再放進去三個一元硬幣，那么它現在里面有多少錢了呢”為題，引導學生進行富有針對性的思考。其目的不言而喻，希望學生能夠對其作為結果的“C+3”有一個初步的把握。

當面臨實際問題時，學生通過實驗、歸納、類比、概括等發現其中蘊含的一般性規律，并運用自己的語言描述，最終運用數、圖形、符號等概括地將這個規律表示出來，這是一個運用數學的思維方式進行思考的過程。這一過程超越了具體問題的情境，深刻地揭示了存在于一類問題中的共性和普遍性，把學生的認識和思考提高到一個更高的水平。

需要特別指出的是，學生在表示具體情境蘊含的一般規律時，常常會有自己特有的表示，而數學自身則提供公認的常規的數學表示，如何讓兩者之間建立自然的對接是我們需要思考的。朱老師給了我們一個很好的范例，他讓學生自己提出一些例子，并引導學生去解釋，在積累一些經驗后，自然地引入到數學表示上。

【片段描述3】用字母表示數量關系——年齡情境中的字母表示數量關系

教師提一個簡單情境“小紅的爸爸比小紅大30歲”，而后將這一情境細分出4個小問題：1.引出小紅年齡是a，爸爸年齡就是a+30；2. a是什么意思？a與4有什么不同？提問后，讓學生靜靜思考，接著花5分鐘時間讓學生說說對這句話的理解；3.4+30與a+30有什么不同；4.比較a與a+30，誰大，大多少？誰小，小多少？

【分析】

含有字母的式子不僅可以表示運算和結果，還可以表示具體的數量和數量間的關系。該片段朱老師深入淺出的教學，讓學生親身體驗了將實際問題抽象成數學模型的過程。

一開始朱老師與學生一起思考，引導學生試著用含有字母的式子去概括其中不變的函數關系。接著借用問題“a=1，什么意思？這時候的a+30呢？”啟發學生思考，這個思考過程也是思維過程，是借助歸納推理來“探究成因”的過程。同時，在這些探索與思考過程中，學生積累了活動經驗。

在此基礎上，朱老師提出：“想一想：4與a有什么不同？”這一提問把學生推向深深的思辨之中，而這種思辨背后所潛藏著“字母可以表示變化的數”的一種把握——“a是一個未知數，而4是一個已知數。也可以說，a是一個變量，4是一個定量。”我們相信這樣的把握是完美的，更希望這樣完美的表述能深深種在學生學習的心田中。朱老師作了一次追問：“什么叫作一個已知，一個是未知，也可以說一個是變化的變量，一個是確定的定量？沒有聽懂的同學當然要認真聽，聽懂的要想好，如果你來說，你說哪幾句話？”在學生思辨、表達、內化過程中，朱老師又通過舉例子的方式讓學生對字母可以表示變化的數獲得了更深的體驗。緊接著，朱老師提問：“4+30與a+30有什么不同？”三次提問，一次追問，每一次都指向了“具體數”與“字母表示的數”的關系，這種關系恰恰是字母和含有字母的式子所能夠表示的豐富內涵。endprint

同時，我們應該看到朱老師引導學生思考的一些做法：1.與學生一起思考；2.培養學生的歸納推理能力；3.幫助學生積累活動經驗。

二、反思

（一）轉變重結果輕過程的教學觀念

數學教學應重視過程教學，不能僅停留在表面形式上。數學教學應該不只是教知識、教技巧，還要教數學思考、教思想，把數學的學術形態轉換為教育形態，努力去體現數學的價值，培養能力，培育意識、觀念，形成良好的品質。重視過程教學，就是要重視學生思維的真實過程，重視解決問題時的思考過程，就是要在教學中堅持數學思考的培養離不開學生親身經歷的原則，盡可能地創設合理的、有價值的問題情境。

（二）學會獨立思考，積淀活動經驗

我們希望學生在積極的思維參與中領悟數學的本質和核心，這種思維積極參與的數學活動有利于達到對數學知識的深刻理解和融會貫通。數學學習中善于問為什么、善于尋根究底、善于浮想聯翩和聯系推廣，是思維真正參與到數學學習活動的重要方面。引領學生進行有效的獨立思考需要解決兩個問題：“你是怎樣想的？”“你是怎么想到的？”獨立思考是學生在學習情境中借助于數學語言在頭腦中默默地進行的，是數學語言的“內在表達”。它常常表現出簡化的、壓縮的、跳躍的，從而思考的過程和結果都具有模糊性。

1.重點解決“你是怎樣想的”。數學交流中，我們應引導學生充分交流“你是怎樣想的”，同時要引導學生交流“還有沒有其他的想法”“他的想法和你的有什么不一樣”，給學生充分展示自己的思考過程，并從他人的思考過程中探索新的思考方法，從而慢慢習慣于“學會思考”。

2.關鍵解決“你是怎么想到的”。在數學交流過程中（包括爭辯別人的反駁觀點），學生可以更好地理解和使用數學語言和符號，可以組織和強化自己的思考，可以理清獨立思考的過程，鞏固獨立思考的結果，同時通過思考他人的想法和策略來豐富和擴展自己的知識和思維。

因此，我們應積極創設數學交流的環境，讓學生將自己的思考過程、思考結果用數學語言通過口頭或書面表達出來，處于混沌姿態的數學思考就能逐漸明晰起來，從而促進學生獨立思考能力的提高。當然，獨立思考能力發展是逐漸深化的過程。從“會獨立思考問題”到“能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己思考過程與結果”，再到“能獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式”。

（三）學會數學地思考，體驗數學化過程

當面臨實際問題時，學生通過實驗、歸納、類比、概括等發現其中蘊含的一般性規律，并運用自己的語言描述，最終運用數、圖形、符號等概括地將這個規律表示出來，這是一個運用數學的思維方式進行思考的過程。這一過程超越了具體問題的情境，深刻地揭示了存在于一類問題中的共性和普遍性，把學生的認識和思考提高到一個更高的水平。三個片段都實現了數學地思考過程。我們時常發現學生在表示具體情境蘊含的一般規律時，常常有自己特有的表示方式。這種帶有個人色彩的表示，盡管缺少常規表示的精確性和普遍性，但這些表示對學生個人是有意義的，并且對促進學生的理解起著重要作用，有助于問題的解決。這些個人特有的表示方式，提供了一個能使學生對其他表示（包括常規的數學表示）的本質和作用進行認識的經驗基礎。而數學自身則提供公認的常規的數學表示，如何實現從個人特有的自我表示到數學表示的飛躍？朱老師的教學給我們提供了一個范例。如“想一想：4與a有什么不同”，朱老師在提出問題后，讓學生自己來表達，在學生的不斷表達與修正（在沒有教師的肯定下，學生表達會開放一些，回答會越來越趨向數學表示）后，接著追問，“什么叫作一個已知，一個是未知，也可以說一個是變化的變量，一個是確定的定量？”使學生認識到數學表示方法的特點，由此實現從自己的表示向數學表示的飛躍。

（浙江省溫州市少年藝術學校 325000）endprint