給學生以“思想”附課堂以“靈魂”

張衛(wèi)國

人教版教材五年級上冊“多邊形的面積”單元，是在學生認識三角形、平行四邊形和梯形，理解了面積的概念，會計算長方形、正方形面積的基礎上，進一步學習平行四邊形、三角形和梯形的面積，形成有關多邊形面積的系統(tǒng)知識。在以往的教學中，這些教學內容的編排往往側重于理解和掌握圖形面積的計算方法，而對于促進學生空間觀念的發(fā)展，在學習素材和實踐操作方面都顯不夠。

本單元教材在編排上突出的變化是，加強動手實踐、自主探索，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，使學生得到較多的有關空間觀念的訓練機會。首先，每種圖形面積計算方法的教學，均采用讓學生動手實驗、自主探索得到。例如，平行四邊形的面積，是先借助數(shù)方格的方法得到；再引導學生通過剪、拼圖形，將平行四邊形轉化為長方形，推導出平行四邊形的面積計算方法。其次，按照知識學習的先后順序，逐步提高探索的難度和要求。三角形的面積計算就直接讓學生試著將三角形轉化為已學過的圖形推導出面積計算公式。到梯形面積的計算時，要求學生綜合運用學過的方法自己推導出面積計算公式。第三，研究每一種圖形面積的計算方法時，教材均沒有給出推導的過程和計算公式，以便于學生從多種途徑探索、自己得出結論，從而給教師和學生都留有較大的創(chuàng)造空間。基于以上的編排思路，筆者對這個單元的教學作了深層次的思考。

一、注重前有孕伏，感受化歸思想

“轉化”是數(shù)學學習和研究的一種重要思想方法，本單元面積公式的推導都采用了轉化的方法。教學中，應以學生的探究活動為主要形式，教師加強指導和引導。通過操作，引導學生去探究所研究的圖形與轉化后的圖形之間有什么聯(lián)系，從而找到面積的計算方法，滲透“轉化”的思想方法。

因此，在本單元的教學中，筆者補充了一節(jié)起始課：比較圖形的大小，讓學生借助方格紙，能直接判斷圖形面積的大小（如圖1）。同時通過交流，知道比較圖形面積大小的基本方法：割補、平移、旋轉，體驗圖形形狀的變化與面積大小變化的關系。本單元以“知識”與“思想”這一明暗兩條線索牽動學生的思維。通過補充，引導學生自覺地嘗試運用數(shù)學思想方法解決問題的意識，化歸思想統(tǒng)領了整個單元。

二、實踐幾何變換，發(fā)展空間觀念

等積變換是幾何學習中重要的思想方法，也是數(shù)學推導與證明的一種重要手段。本單元從平行四邊形轉化為長方形，從三角形、梯形轉化為平行四邊形以及計算組合圖形的面積中都可以由等積變換中獲取成功。

（一）在探究中實行變換

在本單元的新課探究中，這種等積變換的思想應成為探究過程的一條重要策略。

在三角形、梯形的面積計算公式推導過程中，除了倍積變換的思路，還可以引導學生采取割補的方法，深度探索等積變換獲得面積的計算公式方法。如在梯形面積計算教學中，運用等積變換的思想來推導公式。

方法1：將梯形轉化為兩個三角形。

方法2：將梯形轉化為一個三角形和一個平行四邊形。

方法3：還可以分割中位線把它轉化為平行四邊形或者長方形。

無論是倍積變換還是等積變換，它們的本質是一樣的，都運用了數(shù)學學習和研究的一種重要的方法——轉化。對于平面圖形面積計算公式的推導一般都采用轉化的方法，教師通過學生的操作活動，啟發(fā)學生把所學的圖形轉化為已經(jīng)會計算面積的圖形，落實轉化的思想方法；然后引導學生思考探究所學圖形與轉化成的圖形之間有什么聯(lián)系，從而找到面積的計算方法。而在實際操作中，似乎更多的學生喜歡用倍積變換的思想來推導計算公式，這可能與教師提供的探究材料和探究建議有關，因為教師往往已有意識地引導學生用兩個圖形來拼組，如此看來，學生就“被探究了”，倍積變換確實是得到所求圖形面積計算公式比較簡單的方法，但如何進一步促進學生的探究意識和能力需要在等積變換中實現(xiàn)。因此在教學中不妨這樣設計：

比如，在“三角形面積計算”教學中，出示問題：一個三角形底是4厘米，高是3厘米，它的面積是多少？

將它放在方格紙中，數(shù)一數(shù)，它的面積是多少？你是怎樣數(shù)的？

有了方格紙為背景，學生就有探究思考的基礎，也有利于等積變換思想方法的實施，并為后面梯形面積計算公式的推導打好基礎。

（二）在練習中實行變換

運用幾何變換，除了要求在新課的探究中，不把學生的思維限制在一種固定或簡單的途徑或方法上，鼓勵學生從不同的途徑和角度去思考和探索解決問題外，還需要在練習中注重圖形的變式，注重培養(yǎng)學生思維的靈活性和深刻性。通過加強從形的層面積累經(jīng)驗，凸現(xiàn)等積變形思想，加強空間變換的應用，積極創(chuàng)造本單元的新型習題，提供應用機會，幫助學生發(fā)展空間觀念。

如在“三角形面積計算”的練習課中，筆者設計了這樣一道題：

一個長方形長4厘米，寬3厘米， A 為長方形內任意一點，求陰影部分面積 。

對于幾何圖形的變換需要想象，從而發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生的能力。為此，對于此題筆者根據(jù)運動的觀點設計了三類題型，先讓學生觀察變化中的三角形，通過移動A點，形成了不同的陰影部分，通過觀察這些三角形，發(fā)現(xiàn)了它們的共同特點，溝通了它們之間的聯(lián)系。

進一步，教師出示圖3（單位：米），計算陰影部分面積。由于求兩個陰影三角形的面積和缺少條件，學生或用代數(shù)的方法，把下底的長度用（a+b）來表示（如圖5），然后進行推導。或利用等積變形的方法，轉化成如圖6的形式后，再計算陰影部分面積。

三、溝通知識聯(lián)系，提升思維品質

知識的有效達成建構，是學生掌握與應用知識的重要手段。良好的認知結構有利于學生的及時提取并解決問題。為此，教師一方面要在教學中通過滲透聯(lián)系的觀點，凸現(xiàn)轉化的思想，實現(xiàn)知識的有效建構；另一方面要把握知識的本質聯(lián)系，提升學生的思維品質，提高教學的有效性。

（一）溝通圖形面積的推導過程

本單元的圖形之間有著密切的聯(lián)系，在整理復習課中，通過讓學生回憶各個圖形面積的推導過程，讓學生體會到圖形之間是可以互相轉化的，通過構建知識網(wǎng)絡圖，讓學生在頭腦中形成一個聯(lián)系網(wǎng)，可以幫助學生更好地掌握和理解各個圖形的面積計算方法。

（二）溝通各種圖形求積公式之間的聯(lián)系

長方形、梯形、三角形和平行四邊形的面積公式有著密切的聯(lián)系，筆者在教學中進行了這樣的課件演示：梯形的上底慢慢縮短變成一個三角形；梯形的上底慢慢延長變成一個平行四邊形；梯形的上底延長與下底相等且兩腰互相垂直變成一個長方形。讓學生發(fā)現(xiàn)梯形與三角形、平行四邊形、長方形之間也存在著密切的聯(lián)系，并指出它們的面積公式間也有著密切的聯(lián)系。例如通過梯形與各個圖形之間的聯(lián)系，我們發(fā)現(xiàn)三角形、平行四邊形、長方形的面積計算公式都可以聯(lián)系梯形的面積計算公式。

總之，教師如果能在教學中滲透數(shù)學思想方法，就像為課堂點亮了一盞明燈。可以這么說，小學數(shù)學教師誰真正在教學中關注數(shù)學思想方法的滲透，誰就獲得了高效教學的入場券，這也是筆者對小學數(shù)學教學的追求。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)回瀾小學 311200）endprint

人教版教材五年級上冊“多邊形的面積”單元，是在學生認識三角形、平行四邊形和梯形，理解了面積的概念，會計算長方形、正方形面積的基礎上，進一步學習平行四邊形、三角形和梯形的面積，形成有關多邊形面積的系統(tǒng)知識。在以往的教學中，這些教學內容的編排往往側重于理解和掌握圖形面積的計算方法，而對于促進學生空間觀念的發(fā)展，在學習素材和實踐操作方面都顯不夠。

本單元教材在編排上突出的變化是，加強動手實踐、自主探索，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，使學生得到較多的有關空間觀念的訓練機會。首先，每種圖形面積計算方法的教學，均采用讓學生動手實驗、自主探索得到。例如，平行四邊形的面積，是先借助數(shù)方格的方法得到；再引導學生通過剪、拼圖形，將平行四邊形轉化為長方形，推導出平行四邊形的面積計算方法。其次，按照知識學習的先后順序，逐步提高探索的難度和要求。三角形的面積計算就直接讓學生試著將三角形轉化為已學過的圖形推導出面積計算公式。到梯形面積的計算時，要求學生綜合運用學過的方法自己推導出面積計算公式。第三，研究每一種圖形面積的計算方法時，教材均沒有給出推導的過程和計算公式，以便于學生從多種途徑探索、自己得出結論，從而給教師和學生都留有較大的創(chuàng)造空間。基于以上的編排思路，筆者對這個單元的教學作了深層次的思考。

一、注重前有孕伏，感受化歸思想

“轉化”是數(shù)學學習和研究的一種重要思想方法，本單元面積公式的推導都采用了轉化的方法。教學中，應以學生的探究活動為主要形式，教師加強指導和引導。通過操作，引導學生去探究所研究的圖形與轉化后的圖形之間有什么聯(lián)系，從而找到面積的計算方法，滲透“轉化”的思想方法。

因此，在本單元的教學中，筆者補充了一節(jié)起始課：比較圖形的大小，讓學生借助方格紙，能直接判斷圖形面積的大小（如圖1）。同時通過交流，知道比較圖形面積大小的基本方法：割補、平移、旋轉，體驗圖形形狀的變化與面積大小變化的關系。本單元以“知識”與“思想”這一明暗兩條線索牽動學生的思維。通過補充，引導學生自覺地嘗試運用數(shù)學思想方法解決問題的意識，化歸思想統(tǒng)領了整個單元。

二、實踐幾何變換，發(fā)展空間觀念

等積變換是幾何學習中重要的思想方法，也是數(shù)學推導與證明的一種重要手段。本單元從平行四邊形轉化為長方形，從三角形、梯形轉化為平行四邊形以及計算組合圖形的面積中都可以由等積變換中獲取成功。

（一）在探究中實行變換

在本單元的新課探究中，這種等積變換的思想應成為探究過程的一條重要策略。

在三角形、梯形的面積計算公式推導過程中，除了倍積變換的思路，還可以引導學生采取割補的方法，深度探索等積變換獲得面積的計算公式方法。如在梯形面積計算教學中，運用等積變換的思想來推導公式。

方法1：將梯形轉化為兩個三角形。

方法2：將梯形轉化為一個三角形和一個平行四邊形。

方法3：還可以分割中位線把它轉化為平行四邊形或者長方形。

無論是倍積變換還是等積變換，它們的本質是一樣的，都運用了數(shù)學學習和研究的一種重要的方法——轉化。對于平面圖形面積計算公式的推導一般都采用轉化的方法，教師通過學生的操作活動，啟發(fā)學生把所學的圖形轉化為已經(jīng)會計算面積的圖形，落實轉化的思想方法；然后引導學生思考探究所學圖形與轉化成的圖形之間有什么聯(lián)系，從而找到面積的計算方法。而在實際操作中，似乎更多的學生喜歡用倍積變換的思想來推導計算公式，這可能與教師提供的探究材料和探究建議有關，因為教師往往已有意識地引導學生用兩個圖形來拼組，如此看來，學生就“被探究了”，倍積變換確實是得到所求圖形面積計算公式比較簡單的方法，但如何進一步促進學生的探究意識和能力需要在等積變換中實現(xiàn)。因此在教學中不妨這樣設計：

比如，在“三角形面積計算”教學中，出示問題：一個三角形底是4厘米，高是3厘米，它的面積是多少？

將它放在方格紙中，數(shù)一數(shù)，它的面積是多少？你是怎樣數(shù)的？

有了方格紙為背景，學生就有探究思考的基礎，也有利于等積變換思想方法的實施，并為后面梯形面積計算公式的推導打好基礎。

（二）在練習中實行變換

運用幾何變換，除了要求在新課的探究中，不把學生的思維限制在一種固定或簡單的途徑或方法上，鼓勵學生從不同的途徑和角度去思考和探索解決問題外，還需要在練習中注重圖形的變式，注重培養(yǎng)學生思維的靈活性和深刻性。通過加強從形的層面積累經(jīng)驗，凸現(xiàn)等積變形思想，加強空間變換的應用，積極創(chuàng)造本單元的新型習題，提供應用機會，幫助學生發(fā)展空間觀念。

如在“三角形面積計算”的練習課中，筆者設計了這樣一道題：

一個長方形長4厘米，寬3厘米， A 為長方形內任意一點，求陰影部分面積 。

對于幾何圖形的變換需要想象，從而發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生的能力。為此，對于此題筆者根據(jù)運動的觀點設計了三類題型，先讓學生觀察變化中的三角形，通過移動A點，形成了不同的陰影部分，通過觀察這些三角形，發(fā)現(xiàn)了它們的共同特點，溝通了它們之間的聯(lián)系。

進一步，教師出示圖3（單位：米），計算陰影部分面積。由于求兩個陰影三角形的面積和缺少條件，學生或用代數(shù)的方法，把下底的長度用（a+b）來表示（如圖5），然后進行推導。或利用等積變形的方法，轉化成如圖6的形式后，再計算陰影部分面積。

三、溝通知識聯(lián)系，提升思維品質

知識的有效達成建構，是學生掌握與應用知識的重要手段。良好的認知結構有利于學生的及時提取并解決問題。為此，教師一方面要在教學中通過滲透聯(lián)系的觀點，凸現(xiàn)轉化的思想，實現(xiàn)知識的有效建構；另一方面要把握知識的本質聯(lián)系，提升學生的思維品質，提高教學的有效性。

（一）溝通圖形面積的推導過程

本單元的圖形之間有著密切的聯(lián)系，在整理復習課中，通過讓學生回憶各個圖形面積的推導過程，讓學生體會到圖形之間是可以互相轉化的，通過構建知識網(wǎng)絡圖，讓學生在頭腦中形成一個聯(lián)系網(wǎng)，可以幫助學生更好地掌握和理解各個圖形的面積計算方法。

（二）溝通各種圖形求積公式之間的聯(lián)系

長方形、梯形、三角形和平行四邊形的面積公式有著密切的聯(lián)系，筆者在教學中進行了這樣的課件演示：梯形的上底慢慢縮短變成一個三角形；梯形的上底慢慢延長變成一個平行四邊形；梯形的上底延長與下底相等且兩腰互相垂直變成一個長方形。讓學生發(fā)現(xiàn)梯形與三角形、平行四邊形、長方形之間也存在著密切的聯(lián)系，并指出它們的面積公式間也有著密切的聯(lián)系。例如通過梯形與各個圖形之間的聯(lián)系，我們發(fā)現(xiàn)三角形、平行四邊形、長方形的面積計算公式都可以聯(lián)系梯形的面積計算公式。

總之，教師如果能在教學中滲透數(shù)學思想方法，就像為課堂點亮了一盞明燈。可以這么說，小學數(shù)學教師誰真正在教學中關注數(shù)學思想方法的滲透，誰就獲得了高效教學的入場券，這也是筆者對小學數(shù)學教學的追求。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)回瀾小學 311200）endprint

人教版教材五年級上冊“多邊形的面積”單元，是在學生認識三角形、平行四邊形和梯形，理解了面積的概念，會計算長方形、正方形面積的基礎上，進一步學習平行四邊形、三角形和梯形的面積，形成有關多邊形面積的系統(tǒng)知識。在以往的教學中，這些教學內容的編排往往側重于理解和掌握圖形面積的計算方法，而對于促進學生空間觀念的發(fā)展，在學習素材和實踐操作方面都顯不夠。

本單元教材在編排上突出的變化是，加強動手實踐、自主探索，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，使學生得到較多的有關空間觀念的訓練機會。首先，每種圖形面積計算方法的教學，均采用讓學生動手實驗、自主探索得到。例如，平行四邊形的面積，是先借助數(shù)方格的方法得到；再引導學生通過剪、拼圖形，將平行四邊形轉化為長方形，推導出平行四邊形的面積計算方法。其次，按照知識學習的先后順序，逐步提高探索的難度和要求。三角形的面積計算就直接讓學生試著將三角形轉化為已學過的圖形推導出面積計算公式。到梯形面積的計算時，要求學生綜合運用學過的方法自己推導出面積計算公式。第三，研究每一種圖形面積的計算方法時，教材均沒有給出推導的過程和計算公式，以便于學生從多種途徑探索、自己得出結論，從而給教師和學生都留有較大的創(chuàng)造空間。基于以上的編排思路，筆者對這個單元的教學作了深層次的思考。

一、注重前有孕伏，感受化歸思想

“轉化”是數(shù)學學習和研究的一種重要思想方法，本單元面積公式的推導都采用了轉化的方法。教學中，應以學生的探究活動為主要形式，教師加強指導和引導。通過操作，引導學生去探究所研究的圖形與轉化后的圖形之間有什么聯(lián)系，從而找到面積的計算方法，滲透“轉化”的思想方法。

因此，在本單元的教學中，筆者補充了一節(jié)起始課：比較圖形的大小，讓學生借助方格紙，能直接判斷圖形面積的大小（如圖1）。同時通過交流，知道比較圖形面積大小的基本方法：割補、平移、旋轉，體驗圖形形狀的變化與面積大小變化的關系。本單元以“知識”與“思想”這一明暗兩條線索牽動學生的思維。通過補充，引導學生自覺地嘗試運用數(shù)學思想方法解決問題的意識，化歸思想統(tǒng)領了整個單元。

二、實踐幾何變換，發(fā)展空間觀念

等積變換是幾何學習中重要的思想方法，也是數(shù)學推導與證明的一種重要手段。本單元從平行四邊形轉化為長方形，從三角形、梯形轉化為平行四邊形以及計算組合圖形的面積中都可以由等積變換中獲取成功。

（一）在探究中實行變換

在本單元的新課探究中，這種等積變換的思想應成為探究過程的一條重要策略。

在三角形、梯形的面積計算公式推導過程中，除了倍積變換的思路，還可以引導學生采取割補的方法，深度探索等積變換獲得面積的計算公式方法。如在梯形面積計算教學中，運用等積變換的思想來推導公式。

方法1：將梯形轉化為兩個三角形。

方法2：將梯形轉化為一個三角形和一個平行四邊形。

方法3：還可以分割中位線把它轉化為平行四邊形或者長方形。

無論是倍積變換還是等積變換，它們的本質是一樣的，都運用了數(shù)學學習和研究的一種重要的方法——轉化。對于平面圖形面積計算公式的推導一般都采用轉化的方法，教師通過學生的操作活動，啟發(fā)學生把所學的圖形轉化為已經(jīng)會計算面積的圖形，落實轉化的思想方法；然后引導學生思考探究所學圖形與轉化成的圖形之間有什么聯(lián)系，從而找到面積的計算方法。而在實際操作中，似乎更多的學生喜歡用倍積變換的思想來推導計算公式，這可能與教師提供的探究材料和探究建議有關，因為教師往往已有意識地引導學生用兩個圖形來拼組，如此看來，學生就“被探究了”，倍積變換確實是得到所求圖形面積計算公式比較簡單的方法，但如何進一步促進學生的探究意識和能力需要在等積變換中實現(xiàn)。因此在教學中不妨這樣設計：

比如，在“三角形面積計算”教學中，出示問題：一個三角形底是4厘米，高是3厘米，它的面積是多少？

將它放在方格紙中，數(shù)一數(shù)，它的面積是多少？你是怎樣數(shù)的？

有了方格紙為背景，學生就有探究思考的基礎，也有利于等積變換思想方法的實施，并為后面梯形面積計算公式的推導打好基礎。

（二）在練習中實行變換

運用幾何變換，除了要求在新課的探究中，不把學生的思維限制在一種固定或簡單的途徑或方法上，鼓勵學生從不同的途徑和角度去思考和探索解決問題外，還需要在練習中注重圖形的變式，注重培養(yǎng)學生思維的靈活性和深刻性。通過加強從形的層面積累經(jīng)驗，凸現(xiàn)等積變形思想，加強空間變換的應用，積極創(chuàng)造本單元的新型習題，提供應用機會，幫助學生發(fā)展空間觀念。

如在“三角形面積計算”的練習課中，筆者設計了這樣一道題：

一個長方形長4厘米，寬3厘米， A 為長方形內任意一點，求陰影部分面積 。

對于幾何圖形的變換需要想象，從而發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生的能力。為此，對于此題筆者根據(jù)運動的觀點設計了三類題型，先讓學生觀察變化中的三角形，通過移動A點，形成了不同的陰影部分，通過觀察這些三角形，發(fā)現(xiàn)了它們的共同特點，溝通了它們之間的聯(lián)系。

進一步，教師出示圖3（單位：米），計算陰影部分面積。由于求兩個陰影三角形的面積和缺少條件，學生或用代數(shù)的方法，把下底的長度用（a+b）來表示（如圖5），然后進行推導。或利用等積變形的方法，轉化成如圖6的形式后，再計算陰影部分面積。

三、溝通知識聯(lián)系，提升思維品質

知識的有效達成建構，是學生掌握與應用知識的重要手段。良好的認知結構有利于學生的及時提取并解決問題。為此，教師一方面要在教學中通過滲透聯(lián)系的觀點，凸現(xiàn)轉化的思想，實現(xiàn)知識的有效建構；另一方面要把握知識的本質聯(lián)系，提升學生的思維品質，提高教學的有效性。

（一）溝通圖形面積的推導過程

本單元的圖形之間有著密切的聯(lián)系，在整理復習課中，通過讓學生回憶各個圖形面積的推導過程，讓學生體會到圖形之間是可以互相轉化的，通過構建知識網(wǎng)絡圖，讓學生在頭腦中形成一個聯(lián)系網(wǎng)，可以幫助學生更好地掌握和理解各個圖形的面積計算方法。

（二）溝通各種圖形求積公式之間的聯(lián)系

長方形、梯形、三角形和平行四邊形的面積公式有著密切的聯(lián)系，筆者在教學中進行了這樣的課件演示：梯形的上底慢慢縮短變成一個三角形；梯形的上底慢慢延長變成一個平行四邊形；梯形的上底延長與下底相等且兩腰互相垂直變成一個長方形。讓學生發(fā)現(xiàn)梯形與三角形、平行四邊形、長方形之間也存在著密切的聯(lián)系，并指出它們的面積公式間也有著密切的聯(lián)系。例如通過梯形與各個圖形之間的聯(lián)系，我們發(fā)現(xiàn)三角形、平行四邊形、長方形的面積計算公式都可以聯(lián)系梯形的面積計算公式。

總之，教師如果能在教學中滲透數(shù)學思想方法，就像為課堂點亮了一盞明燈。可以這么說，小學數(shù)學教師誰真正在教學中關注數(shù)學思想方法的滲透，誰就獲得了高效教學的入場券，這也是筆者對小學數(shù)學教學的追求。

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