例談數學思想方法在教學中的滲透

劉文林

在教學中，教師有意識地向學生滲透基本數學思想方法是提高學生數學能力和思維能力的重要手段，是數學教學中實現從傳授知識到培養學生分析問題、解決問題能力轉變的重要途徑。而數學思想方法不計其數，每一種數學思想方法都閃爍著智慧的火花。在小學數學知識中，隱含著許多思想方法，需要教師用心地挖掘、有機地滲透。現就在教學中如何滲透數學思想方法談一些筆者的體會。

一、滲透假設的思想，培養推理判斷能力

“假設的思想”，是要求人們對事物發展的趨勢進行一種假設，通過這種假設，使思維有繼續向前發展的依托和基礎，從而開辟出從未知通向已知的道路。假設的思想，在數學研究中應用極廣，尤其對那些逆向型的問題，更是“雪中送炭”。

在教學“分數的再認識”中，教師呈現了這樣一道例題：在學校舉行的捐款獻愛心活動中，小明捐了自己零花錢總數的，小芳捐了自己零花錢總數的。小芳捐的錢比小明捐的多嗎？請說明理由。

生：不一定。

師：你能想個辦法讓大家一聽就明白嗎？

生：有時小明捐的多，有時小芳捐的多，比如，小明有20元他捐的就是4元；如果小芳有10元她捐的也是4元，兩人一樣多。

生：假如小芳小明都有10元，那就是小芳捐的多。

生：假設小芳有10元，她就捐了4元；假設小明有100元，他就捐了10元，這樣就是小明捐的錢多。

師：聽出來了嗎？他剛才在解釋的時候用了一個很好的方法——

生：假設。

師：真不簡單，我們用掌聲來表揚他！我們在解決數學問題的時候，經常會用到假設的方法，這樣可使復雜的問題簡單化。

再如這樣一道題：雞兔同籠，有22個頭、60條腿，雞兔各有多少只？假設22只全部是雞，則有腿22×2=44（條），比60條少了16條。每只兔子被假設成雞時，少了2條腿。那么，兔子一共是l6÷2=8（只），這樣就可以求出雞有22-8=14（只）。

在解題過程中，靈活地運用假設法，往往可以使問題化難為易。碰到難以表達清楚的事或抽象的、數目較大的問題，通過例子可以使學生容易理解，再按照題里的已知條件進行推算，把假定加以糾正調整，從而得到正確答案。的確，在數學學習和生活中，假設是一種非常重要的思想方法。它能讓復雜的問題簡單化，使問題易于解決。經過不斷的滲透，讓學生在潛移默化中逐步領悟用假設法對數學問題進行推理與判斷，有時容易解決問題，從而使學生推理判斷能力提升于“潤物細無聲”中。

二、滲透對應的思想，培養比較分析能力

所謂“對應”是指一個系統中某一項在性質、作用、位置或數量上跟另一系統中某一項相當。對應是人們對兩個集合元素之間的聯系的一種思想方法。滲透對應的思想，有助于擴大學生的知識面，有助于加深他們對某些內容的理解，有助于初步培養學生對事物進行辨析和歸類的能力，有助于培養學生清晰的、有條理的思考方法，也有利于進一步學習數學和現代科學技術。教學中，幫助學生逐步形成對應思想，掌握對應方法，對于提高學生比較問題、分析問題，進而解決問題的能力是大有裨益的。小學數學常用一一對應的直觀圖表。

（一）在計算教學中滲透對應思想

欄式題目右邊的方框里的數是這欄式題的得數，把每道題和它的得數用線段連起來。通過這種練習可以復習已學的加、減法。

（二）在應用題教學中滲透對應思想

解答分數應用題，抓準分率與實際的量的對應關系是解答的關鍵。分數應用題的數量關系比較抽象，必須充分利用線段圖作為解題工具。通過分析線段圖，明確誰是單位“1”、誰是對應分率，它可以幫助學生在復雜的條件和問題中，理清思路，找到解題線索，有利于發展學生的邏輯思維能力。

例如：小青看一本書，第一天看的頁數比總頁數的多16頁，第二天看的頁數比總頁數的少2頁，還余下88頁，這本書共有多少頁？

三、滲透函數的思想，培養推理判斷能力

函數思想是與現實世界聯系最密切的內容之一，其可貴之處在于它是用運動、變化的觀點，去反映客觀事物數量間的相互聯系和內在規律，如溫度的變化、速度的變化、物價的變化、股市的變化、月相的變化、身高體重的變化等。函數思想體現在：（1）認識到這個世界是普遍聯系的，各個量之間總是相互依存的，即“普遍聯系”的思想。（2）于“變化”中尋求“規律”（關系式），即“模式化”思想。（3）于“規律”中追求“有序”“結構化”“對稱”等思想。（4）感悟“變化”有快有慢，有時變化的速度是固定的，有時是變化的。（5）根據“規律”判斷發展趨勢，預測未來，并把握未來。由此可見教師在教學中滲透函數思想，必將為學生推理判斷能力的提高打下堅實基礎。

例如：教學“用字母表示數”，教師借助課件演示擺三角形，學生探究得出：三角形的個數可以用字母來表示，所需小棒根數可用含有字母的式子來表示。如用a表示三角形的個數，就用a×3表示所需要的小棒根數。通過師生交流，函數思想就自然地滲透于教學之中。

這個過程讓學生體會到字母可以表示任意的數，也可以表示一些關系式。在學生自主探究的過程中滲透了函數思想，揭示了“用字母表示數”的內涵，使學生收獲的不僅僅是知識技能，更重要的是數學思想方法。

四、滲透化歸的思想，培養分析概括能力

化歸，就是通過問題的轉化來解決問題的一種方法，它是最具有數學思維特色的一種方法。人們學習新知識之前往往會利用已有的知識去認識，從而形成新的經驗，變成自己的知識，而這一過程其實就是一個“化歸”的過程。化歸的方向是由未知到已知，由難到易，由繁到簡，由暗到明。平時教學中不斷向學生滲透化歸的思想，學生就能在學習數學新知識時對舊知識進行分析概括，轉化為已知的舊知識。這樣可以激發學生的探索欲望和求知欲望，從而提高學生分析概括能力。

“植樹問題”兩種教學思路的比較。endprint

教法一：

課一開始，將一只手岔開的5個指頭看作5棵樹，每兩棵樹之間就有一個間隔，以此引出間隔數、棵數，從而得出間隔數與棵數的關系，然后用這個關系解決例題中的問題。

教法二：

在一條l00米長的路的一側種樹，如果兩端都種，每2米種一棵，能種幾棵？面對這一挑戰性的問題，學生紛紛猜測，有的說種50棵，有的說種51棵。到底種幾棵？能否從種“2棵”和“3棵”出發，先來找一找其中的規律呢？隨著問題的拋出，學生陷入了沉思。如果把一只手岔開的5個指頭看作5棵樹，每兩棵樹之間就有一個間隔（板書），一共有幾個間隔？學生回答是“4個”。如果種6棵、7棵……棵數與間隔的個數有怎樣的關系呢？于是可啟發學生通過動手擺一擺、畫一畫、議一議的方法，發現在一段路上兩端都種樹時棵數和間隔數之間的數量關系：棵數=間隔數+1。于是就順利地解決了上述問題。教師又將問題改為“只種一端或兩端不種時可分別種幾棵”，學生運用同樣的方法興趣盎然地找到了答案。

以上兩種教學思路反映了截然不同的教學層次。教法一著眼的是找出問題的答案，講授與傳遞知識。教法二卻在問題解決的過程中給學生傳遞這樣一種策略：當遇到復雜問題時，不妨退到簡單問題上，然后從簡單問題的研究中找到規律，以最終解決復雜問題。這樣的教學，滲透了化繁為簡、歸納遞推的方法和數學的建模思想，使學生感受到思想方法在問題解決中的重要作用。

五、滲透猜想驗證的思想，培養觀察探究能力

數學猜想能縮短解決問題的時間，能獲得數學發現的機會，能鍛煉數學思維。猜想驗證不但有利于學生迅速發現事物的規律，獲得探索知識的線索和方法，而且能增強學生學好數學的信心，激發學習數學的主動性和參與性，從而更好地發展創造性思維，提高學生觀察探究的能力。在探究性學習活動中，“猜想—驗證”是一種重要的發現問題和解決問題的思維方法。

在教學“三角形內角和”時，筆者設計了如下教學流程：

猜想——聯系前面三角形的分類。大膽猜想：三角形的3個內角的和可能是多少度？

驗證——用你喜歡的三角形進行實驗。看看你們的猜想是否正確？

學生匯報的實驗方法可謂出乎意料、精彩紛呈。

方法1：量、算法。先量出三個內角的度數，再相加。發現有時候小于180度，有時候等于180度，有時候大于l80度。

方法2：剪、拼法。把三角形另外兩個內角剪下來，和第一個內角拼在一起，發現基本上拼成了一個平角，是180度。

方法3：用特殊三角形直接計算法。等邊三角形的內角和等于60度乘3，即180度，還有直角三角板的內角和計算出來也是180度。

驗證——再任意畫一個三角形，驗證內角和是否等于l80度。

應用——已知三角形的兩個內角，求另一個內角等。

猜想—實驗—發現—驗證—應用，并將其貫穿于教學的始終。在整個教學過程中，教師根據教學環節及時歸納，并板書“猜想”“實驗”“發現”“驗證”“應用”等體現數學思想方法的術語，把隱含在知識中的數學思想方法外顯出來，使學生可以及時地從中感悟和領會數學思想方法。

以上五種數學思想，僅僅是數學思想這一浩瀚海洋中的一滴水珠，它還是形成良好思維品質的基礎，此外，還有符號思想、代數思想、極限思想、集合思想、建模思想、數形結合思想等等。教師在教學中可隨時有目的、有選擇、適時地滲透數學思想，以達到提高學生數學能力和思維品質的目的。

（浙江省龍游縣下庫小學 324400）endprint

教法一：

課一開始，將一只手岔開的5個指頭看作5棵樹，每兩棵樹之間就有一個間隔，以此引出間隔數、棵數，從而得出間隔數與棵數的關系，然后用這個關系解決例題中的問題。

教法二：

在一條l00米長的路的一側種樹，如果兩端都種，每2米種一棵，能種幾棵？面對這一挑戰性的問題，學生紛紛猜測，有的說種50棵，有的說種51棵。到底種幾棵？能否從種“2棵”和“3棵”出發，先來找一找其中的規律呢？隨著問題的拋出，學生陷入了沉思。如果把一只手岔開的5個指頭看作5棵樹，每兩棵樹之間就有一個間隔（板書），一共有幾個間隔？學生回答是“4個”。如果種6棵、7棵……棵數與間隔的個數有怎樣的關系呢？于是可啟發學生通過動手擺一擺、畫一畫、議一議的方法，發現在一段路上兩端都種樹時棵數和間隔數之間的數量關系：棵數=間隔數+1。于是就順利地解決了上述問題。教師又將問題改為“只種一端或兩端不種時可分別種幾棵”，學生運用同樣的方法興趣盎然地找到了答案。

以上兩種教學思路反映了截然不同的教學層次。教法一著眼的是找出問題的答案，講授與傳遞知識。教法二卻在問題解決的過程中給學生傳遞這樣一種策略：當遇到復雜問題時，不妨退到簡單問題上，然后從簡單問題的研究中找到規律，以最終解決復雜問題。這樣的教學，滲透了化繁為簡、歸納遞推的方法和數學的建模思想，使學生感受到思想方法在問題解決中的重要作用。

五、滲透猜想驗證的思想，培養觀察探究能力

數學猜想能縮短解決問題的時間，能獲得數學發現的機會，能鍛煉數學思維。猜想驗證不但有利于學生迅速發現事物的規律，獲得探索知識的線索和方法，而且能增強學生學好數學的信心，激發學習數學的主動性和參與性，從而更好地發展創造性思維，提高學生觀察探究的能力。在探究性學習活動中，“猜想—驗證”是一種重要的發現問題和解決問題的思維方法。

在教學“三角形內角和”時，筆者設計了如下教學流程：

猜想——聯系前面三角形的分類。大膽猜想：三角形的3個內角的和可能是多少度？

驗證——用你喜歡的三角形進行實驗。看看你們的猜想是否正確？

學生匯報的實驗方法可謂出乎意料、精彩紛呈。

方法1：量、算法。先量出三個內角的度數，再相加。發現有時候小于180度，有時候等于180度，有時候大于l80度。

方法2：剪、拼法。把三角形另外兩個內角剪下來，和第一個內角拼在一起，發現基本上拼成了一個平角，是180度。

方法3：用特殊三角形直接計算法。等邊三角形的內角和等于60度乘3，即180度，還有直角三角板的內角和計算出來也是180度。

驗證——再任意畫一個三角形，驗證內角和是否等于l80度。

應用——已知三角形的兩個內角，求另一個內角等。

猜想—實驗—發現—驗證—應用，并將其貫穿于教學的始終。在整個教學過程中，教師根據教學環節及時歸納，并板書“猜想”“實驗”“發現”“驗證”“應用”等體現數學思想方法的術語，把隱含在知識中的數學思想方法外顯出來，使學生可以及時地從中感悟和領會數學思想方法。

以上五種數學思想，僅僅是數學思想這一浩瀚海洋中的一滴水珠，它還是形成良好思維品質的基礎，此外，還有符號思想、代數思想、極限思想、集合思想、建模思想、數形結合思想等等。教師在教學中可隨時有目的、有選擇、適時地滲透數學思想，以達到提高學生數學能力和思維品質的目的。

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教法一：

課一開始，將一只手岔開的5個指頭看作5棵樹，每兩棵樹之間就有一個間隔，以此引出間隔數、棵數，從而得出間隔數與棵數的關系，然后用這個關系解決例題中的問題。

教法二：

在一條l00米長的路的一側種樹，如果兩端都種，每2米種一棵，能種幾棵？面對這一挑戰性的問題，學生紛紛猜測，有的說種50棵，有的說種51棵。到底種幾棵？能否從種“2棵”和“3棵”出發，先來找一找其中的規律呢？隨著問題的拋出，學生陷入了沉思。如果把一只手岔開的5個指頭看作5棵樹，每兩棵樹之間就有一個間隔（板書），一共有幾個間隔？學生回答是“4個”。如果種6棵、7棵……棵數與間隔的個數有怎樣的關系呢？于是可啟發學生通過動手擺一擺、畫一畫、議一議的方法，發現在一段路上兩端都種樹時棵數和間隔數之間的數量關系：棵數=間隔數+1。于是就順利地解決了上述問題。教師又將問題改為“只種一端或兩端不種時可分別種幾棵”，學生運用同樣的方法興趣盎然地找到了答案。

以上兩種教學思路反映了截然不同的教學層次。教法一著眼的是找出問題的答案，講授與傳遞知識。教法二卻在問題解決的過程中給學生傳遞這樣一種策略：當遇到復雜問題時，不妨退到簡單問題上，然后從簡單問題的研究中找到規律，以最終解決復雜問題。這樣的教學，滲透了化繁為簡、歸納遞推的方法和數學的建模思想，使學生感受到思想方法在問題解決中的重要作用。

五、滲透猜想驗證的思想，培養觀察探究能力

數學猜想能縮短解決問題的時間，能獲得數學發現的機會，能鍛煉數學思維。猜想驗證不但有利于學生迅速發現事物的規律，獲得探索知識的線索和方法，而且能增強學生學好數學的信心，激發學習數學的主動性和參與性，從而更好地發展創造性思維，提高學生觀察探究的能力。在探究性學習活動中，“猜想—驗證”是一種重要的發現問題和解決問題的思維方法。

在教學“三角形內角和”時，筆者設計了如下教學流程：

猜想——聯系前面三角形的分類。大膽猜想：三角形的3個內角的和可能是多少度？

驗證——用你喜歡的三角形進行實驗。看看你們的猜想是否正確？

學生匯報的實驗方法可謂出乎意料、精彩紛呈。

方法1：量、算法。先量出三個內角的度數，再相加。發現有時候小于180度，有時候等于180度，有時候大于l80度。

方法2：剪、拼法。把三角形另外兩個內角剪下來，和第一個內角拼在一起，發現基本上拼成了一個平角，是180度。

方法3：用特殊三角形直接計算法。等邊三角形的內角和等于60度乘3，即180度，還有直角三角板的內角和計算出來也是180度。

驗證——再任意畫一個三角形，驗證內角和是否等于l80度。

應用——已知三角形的兩個內角，求另一個內角等。

猜想—實驗—發現—驗證—應用，并將其貫穿于教學的始終。在整個教學過程中，教師根據教學環節及時歸納，并板書“猜想”“實驗”“發現”“驗證”“應用”等體現數學思想方法的術語，把隱含在知識中的數學思想方法外顯出來，使學生可以及時地從中感悟和領會數學思想方法。

以上五種數學思想，僅僅是數學思想這一浩瀚海洋中的一滴水珠，它還是形成良好思維品質的基礎，此外，還有符號思想、代數思想、極限思想、集合思想、建模思想、數形結合思想等等。教師在教學中可隨時有目的、有選擇、適時地滲透數學思想，以達到提高學生數學能力和思維品質的目的。

（浙江省龍游縣下庫小學 324400）endprint