以數(shù)助形，以形析數(shù)

在蘇教版《數(shù)學(xué)》六上學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方體和正方體”后，學(xué)生對(duì)實(shí)際生活相關(guān)的表面積求法出錯(cuò)比較多。如：

（1） 有關(guān)粉刷的問題（教室、游泳池、方形柱子）。

（2） 求制作需要鐵皮的面積（水槽、通風(fēng)管、運(yùn)輸車車斗）。

（3） 有關(guān)包裝問題（火柴盒內(nèi)盒和外套、影集的封套）。

（4） 與臺(tái)階（領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)、樓梯）有關(guān)的問題。

【歸因】

教材：“空間與圖形”這一部分的練習(xí)，相比較于其他領(lǐng)域里的問題來說，與生活實(shí)際的聯(lián)系更強(qiáng)，數(shù)學(xué)化后的立體圖形又非常抽象，涉及到的題型和信息量又如此豐富，學(xué)習(xí)難度大，對(duì)學(xué)生來說的確是巨大的挑戰(zhàn)。

學(xué)生：1.經(jīng)驗(yàn)缺乏。學(xué)生缺乏解決問題必備的生活經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合實(shí)際具體問題時(shí)，常常不能正確判斷到底是求哪幾個(gè)面的面積。2.對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤。學(xué)生沒有將長(zhǎng)方體各個(gè)面的長(zhǎng)和寬與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高建立起清晰的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，導(dǎo)致學(xué)生雖能熟練地計(jì)算出6個(gè)面的表面積，而對(duì)于求其中幾個(gè)面的面積時(shí)常常會(huì)錯(cuò)。3.應(yīng)用呆板。不能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光，數(shù)學(xué)思維來思考身邊常見物體抽象后的數(shù)學(xué)模型，缺乏將數(shù)學(xué)知識(shí)生活化和數(shù)學(xué)化變通的能力。

由此可見，求表面積成為學(xué)生的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)并不僅僅是“學(xué)生聽講不認(rèn)真，粗心或練習(xí)過少”這些表面因素所造成的，它和知識(shí)本身的復(fù)雜性以及兒童的認(rèn)知基礎(chǔ)，生活經(jīng)驗(yàn)有著密切的聯(lián)系。

【對(duì)策】

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，“空間觀念”是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體。顯然，發(fā)展空間觀念，宜借助實(shí)物模型，采用觀察、操作、想象等直觀手段，對(duì)事物進(jìn)行感知體驗(yàn)，直接獲取問題的表象認(rèn)識(shí)，化抽象為形象。對(duì)于學(xué)生來講，這是一個(gè)從空間知覺到空間表象再到空間想象的思維過程。

看一看：觀察是智慧的源泉，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有目的、有計(jì)劃地進(jìn)行觀察能力的培養(yǎng)，能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。因此，對(duì)于學(xué)生身邊的實(shí)物模型（如：教室、漏水管、汽車車斗等）可以讓學(xué)生通過觀察或圖片了解實(shí)物的構(gòu)成，從豐富的直觀實(shí)物上去充分感知。因?yàn)椋W(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象概括，必須基于充分的感性材料，沒有足夠的感性材料作為基礎(chǔ)，他們的抽象概括就很難再認(rèn)知結(jié)構(gòu)中內(nèi)化為一般的意義，很難達(dá)到真正的理性領(lǐng)悟。如教學(xué)P18第10題火柴盒的內(nèi)盒和外套需要的硬紙時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)物和圖片，觀察特征，比畫其構(gòu)造，找一找分別是由哪幾部分組成的，從而幫助學(xué)生形成清晰的、具有實(shí)際意義的感性認(rèn)識(shí)，積累感性經(jīng)驗(yàn)，豐富學(xué)生空間知覺。

想一想：如何建立數(shù)學(xué)問題與具體實(shí)物模型的聯(lián)系，準(zhǔn)確建立物體的表象，并在新的問題情況中能夠自覺喚醒，這是計(jì)算表面積的重點(diǎn)和關(guān)鍵。而建立豐富物體表象關(guān)鍵是加強(qiáng)感知和體驗(yàn)。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的直觀認(rèn)知不斷進(jìn)行想象與調(diào)整，借助直觀表象，回歸所求問題的意義表征，架起直觀表征與抽象的圖形之間的橋梁，為解決問題提供豐富的表象積累。如求火柴盒內(nèi)盒所需硬紙實(shí)際上求下面、左面、右面、前面和后面的面積之和，外盒所需的硬紙就是求上面、下面、前面、后面的面積之和。

畫一畫：對(duì)于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，不同的兩兩相乘，所表示的面就不一樣。對(duì)于學(xué)生來講，既要想象相應(yīng)的空間模型，又要思考到底是少的哪幾個(gè)面（對(duì)應(yīng)的是哪兩個(gè)量相乘），這給解題帶來很大的障礙。在教學(xué)中，我引導(dǎo)學(xué)生畫出相交于同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱（長(zhǎng)、寬、高）a、b、h表示長(zhǎng)方體模型（圖略）。長(zhǎng)、寬、高是長(zhǎng)方體的三條主要的棱，將三維立體圖形抽象得到通過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱，就是為了在小學(xué)生思維的形象性和數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性之間架起過渡的橋梁。三維圖與題目中的文字描述相比較，把具體、復(fù)雜的情境問題提升到抽象簡(jiǎn)單的高度，讓學(xué)生更加清晰地理解六個(gè)面之間的具體位置和建立起每個(gè)面的長(zhǎng)和寬與長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的對(duì)應(yīng)關(guān)系。將實(shí)物與抽象圖之間建立順向聯(lián)系，將“看一看”和“想一想”所積累的感性“圖像”畫在平面上，這樣，使學(xué)生建立起從一維的線到二維的面再到三維的體的整體認(rèn)識(shí)。

作者單位 江蘇省南京市江寧實(shí)驗(yàn)小學(xué)

編輯 張曉楠