常見二次函數考點分析

楊群

二次函數屬于人教版全日制義務教育課程標準實驗教科書《數學》中“數與代數”領域內容，既是近幾年中考數學的一個重要知識點，同時也是一個難點。這道題目考查的知識點多，綜合性較強，解題靈活多變。許多同學在學習這部分章節知識的時候都很難從本質上去理解、掌握，在教學中要教給學生一定的方法，只要掌握方法，就能靈活解決。下面通過具體問題的二次函數探討其常考點。

考點1：二次函數的對稱軸

函數y=ax2+bx+c（a≠0）中，a、b、c的正負將確定拋物線的開口方向；對稱軸位置，對稱軸兩邊函數隨自變量的變化情況；頂點坐標及與y軸交點的位置，拋物線在坐標平面內平移與頂點式y=a（x-h）2+k的變化關系。這些函數的性質，不僅要記憶而且要理解和會運用。例1：拋物線y=x2-2x+1的對稱軸是（ ）

A.直線x=1 B.直線x=-1

C.直線x=2 D.直線x=-2

另一種方法：可將拋物線配方為y=a（x-h）2+k的形式，對稱軸為x=h，已知拋物線可配方為y=（x-1）2，所以對稱軸為x=1，應選A。

圖形的性質、判定、函數的性質，在復習時，要做好基礎知識的理解，加強記憶、理解和運用，。在具體問題中，會根據條件判斷出圖形具有什么特征，可以由這些特征確定求對稱軸思路。 考點2：二次函數的最值問題

大家知道，對于二次函數y=a（x-h）2+k（a≠0）（其中h為函數圖像頂點的橫坐標，k為頂點的縱坐標）來說，當a>0時，頂點（h，k）為圖像的最低點，即當x=h時，y的值最小，最小值為k；當a<0時，頂點（h，k）為圖像的最高點，即當x=h時，y的值最大，最大值為k.利用二次函數的這一性質可解決一些與最值有關的問題。例2：求二次函數y=x2-2x-3的最小值。

解：配方得y=x2-2x-3=（x-1）2-4.

∴頂點坐標為（1，-4）

∴該二次函數的最小值為-4.

另外，如果二次函數在一個實際問題中求最大最小值，除了考慮頂點坐標外，還要考慮自變量的端點值。

考點3：二次函數的平移問題

例3 若拋物線y=a（x-h）2+k向下平移一個單位后，再向左平移3個單位，所得到新拋物線的頂點坐標為（-2，0），且a+h+k=4.求原拋物線的解析式。

解析：拋物線平移，主要抓住頂點的平移，由于平移中a不變，只要變動頂點就行了.對于這類已知平移后的頂點坐標，求原頂點坐標的問題，采用逆推法更易獲解。

原拋物線頂點坐標（h，k）向下平移1個單位后為（h，k-1），再向左平移3個單位后為（h-3，k-1）。依題意，得h-3=-2，k-1=0，所以h=1，k=1.又a+h+k=4，所以a=2。所以y=2（x-1）2+1，即y=2x2-4x+3。

二次函數平移，不改變二次函數的開口方向和大小即二次項系數a不變，只改變頂點的位置，所以先求原拋物線的頂點，通過配方轉化為y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，其圖象可以由y=ax2（a≠0）經過適當的平移得到。

考點4：求拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸的交點

在初中二次函數教學中，數形結合思想方法得到進一步滲透并被廣泛運用。學生從類似“一元二次方程ax2+bx+c=0的實根和二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x 軸交點的關系”、“二次函數y=ax2+bx+c的圖象分布情況與一元二次不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+c<0，或ax2+bx+c≠0等）解集的關系，開始由具體的形象的數形結合發展到具有一定的數形結合思想，并在具體的數學內容中滲透和貫穿數學思想，解決數學問題，從根本上提高數學素質。例4：已知拋物線y=4x2-11x-3，求它與x軸、y軸的交點坐標。

解：由x=0得y=-3，所以拋物線與y軸交點坐標為（0，-3）。由y=0，得4x2-11x-3=0可以求得所以拋物線與x軸交點坐標。

考點5：用待定系數法求二次函數的解析式

用待定系數法求二次函數的解析式是我們求解析式時最有效的常規方法，常見的有一般式、頂點式、交點式（或兩根式）等方法，選用恰當的方法求二次函數解析式，常能簡化計算，達到又快又準的效果。學習二次函數必須掌握二次函數的三種表達形式：一般式y=ax2+bx+c，交點式y=a（x-x1）（x-x2），頂點式y=a（x-h）2+k。在具體問題中要根據問題中條件，結合二次函數的圖象與性質及其它綜合知識，選擇恰當方法，就可能比較容易的解出二次函數的解析式，達到又快又準的效果。

例5：已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點A（0，3），與x軸分別交于點B（1，0）、C（5，0）兩點，求此拋物線的解析式.

思路點撥：由于已知三點，所以本題可以采用一般式求拋物線的解析式.但考慮到已知與x軸交點，所以用交點式更簡單.

解：設此拋物線為y=a（x-x1）（x-x2）。（a≠0），則x1=1，x2=5。

所以可設y=a（x-1）（x-5）。把C（5，0）代人即可求出a。

總之，二次函數教學中所蘊含的數形結合思想，這是幫助學生深入了解數形關系，并運用數形結合思想解決數學問題的契機。學生在考試中解這類題時，加強審題，由條件推斷函數具有何種特性，圖形具有什么特征。利用這些特性和特征結合圖像和圖形，綜合分析，確定出合理的解題方法。特別是在具體的解題過程中靈活運用函數與方程思想進行各種變換，從而達到解決問題的目的。