剖析命題與開語句

沈芳麗

摘 要 《數學教學通訊》2003年2月（上半期）上刊登的《命題與開語句的區分》一文（以下簡稱“區文”），筆者以為“區文”中把“可以被5整除的數，末位是0”認為是開語句是錯誤的。“可以被5整除的數，末位是0”是命題，而且是假命題。類似的錯誤筆者也在一些教輔資料與文章中看到，所以的確有必要明確區分命題與開語句的概念，文章針對“區文”提出的問題給出解析。

關鍵詞 命題；開語句；剖析

一、命題、開語句的定義

初中教材把命題定義為“判斷一件事件的句子”，高中教材把命題定義為“可以判斷真假的語句。”實質是一致的，即能判斷表達的事實正確或錯誤的語句是命題。開語句：含有變量，并且在沒有給出所含變量的值以前無法確定真假的語句。如“x>3”，“a-3=5”等語句。還指出含變量的恒成立的語句都應看作命題，如“x2+x+1>0”。

二、“可以被5整除的數，末位是0”是命題

根據命題與開語句的概念，“區文”認為“因為可以被5整除的數，實質是一個變量，當未給定這個數的值時是無法判斷真假，也無所謂真假。”從而得出“可以被5整除的數，末位是0”是開語句，不是命題。“區文”還從幾個方面進一步闡述此觀點。筆者逐一加以辨析。

1.從假言命題的角度看

“區文”中一個顯著錯誤是兩次用到同一個概念“條件命題”。但內涵、外延均不一致。“區文”的前面“有些資料上把‘開語句也稱為‘條件命題”，“區文”的后面卻把①“若x=0，則xy=0”、②“若4是有理數，則4不是無理數”這樣的“假言命題”稱為“條件命題”。假言命題的一般形式：如果……（前件也稱條件或題設），那么……（后件也稱結論或題斷）。其中的前件和后件是構成命題的要素，是命題的組成部分。它們可以是命題，如②中前、后件都是命題，也可以是開語句，如①中前后件都是開語句。但不管前件、后件是命題還是開語句，整個語句是假言命題，是一個復合命題，當然是一個命題。“區文”的錯誤是把假言命題的條件與結論與假言命題等同起來。即使條件或結論是開語句，整個命題還是假言命題！區文誤把它說成是一個“條件命題”，估計受假言命題中的前件是后件的充分、必要條件等誤導。一般：前件→后件且后件→前件同時為真，前件是后件的充要條件；

前件→后件為真，后件→前件為假，前件是后件的充分不必要條件；

前件→后件為假，后件→前件為真，前件是后件的必要不充分條件；

前件→后件且后件→前件同時為假，前件是后件的既不充分也不必要條件。

“命題的四種形式”也是僅對假言命題而言的，對于一個假言命題條件與結論換位或否定，可以構造出其否命題、逆命題、和逆否命題，與原命題一起稱為我們熟悉的“命題的四種形式”。無論那種形式都是命題，（構成命題的前件和后件可以是命題也可以是開語句）都是假言命題，都是一個復合命題。所以區文中“可以被5整除的數推不出此數末位是0”而把此語句說成是開語句是錯誤的，只能說可以被5整除的數不是此數末位是0的充分條件。所以“可以被5整除的數，末位是0”是一個假命題。

2.根據命題的真值表看

“區文”記命題p：可以被5整除的數，末位是0，設q。

第一：“區文”中指出，如果把“可以被5整除的數，末位是0”作為命題，如果是假命題，則該命題與命題“可以被5整除的數，末位不是0”（也是假命題）一起，在邏輯上關于命題的經典的“p與非p”的真假值矛盾。問題出在那里呢？“區文”的錯誤是找錯了非p命題！

并非“所有（某些）S是（不是）P”=某些（所有）S不是（是）P

即全稱肯定判斷的否定是特稱否定判斷，特稱肯定判斷的否定是全稱否定判斷。當命題p省略了全稱量詞，找非p命題往往出差錯，這需要特別注意。

第二：p：“可以被5整除的數，末位是0”，設q：“可以被5整除的數，末位是5”，“區文”中得出：

p或q：“可以被5整除的數，末位是0或5”，

p且q：“可以被5整除的數，末位是0且5”，

一個被5整除的數，末位不可能既是0又是5，p、q不可能同時成立，也就是p、q是不相容的；但一個被5整除的數，末位不是0就是5，所以對于一個確定的被5整除的數，p、q又不能同時為假。包含不相容的支命題的選言命題是不相容的選言命題，不相容的選言命題就是判斷幾種事物情況中恰有一種存在的判斷。常見的形式是：要么p要么q；或者p，或者q，兩者必居其一。兩者必居其一明確了不相容性。有一個且只有一個支命題為真時，不相容的選言命題才為真。對于一個確定的被5整除的數，p、q不能同時為假、同時為真，恰有一個是真，所以p或q（“可以被5整除的數末位是0或5”）一定是真命題，p、q不相容，所以p且q永遠不可能成立的。

因為用相容的選言命題的真值表無法解釋不相容的選言命題的真假，因而把不相容的選言命題說成是簡單命題是錯誤的（如[4]），說成不是p或q形式的命題也是不正確的（如[5]）。

以上解析說明，說p是開語句而非命題的理由是靠不住的。P當然是命題，而且是假命題。那么到底如何區分命題與開語句呢？

三、區分命題與開語句

在命題邏輯中，原子命題被當作基本單位，其內部結構不再分析。但要區分命題與開語句，要對原子命題的結構進一步剖析，需要新的邏輯工具—詞項邏輯。在詞項邏輯中原子命題進一步細分為謂詞、個體詞、量詞以及邏輯連接詞這樣幾個基本成分。謂詞、個體詞是新概念。先看一個例子：這朵月季花是粉紅色的。在這句話中，令F（x）表示“x是粉紅色的”，a表示“這朵月季花”，則F（a）表示這朵月季花是粉紅色的。其中F是謂詞，表示“粉紅色”這種性質，個體詞是x和a，表示具有這種性質的客體。x稱為個體變項，泛指其中某個個體，而不表示一個確定的個體，a稱為個體常項，指一個確定的個體。

參考文獻：

[1]彭漪漣.邏輯學基礎教程[M].華東師范大學出版社，2001.

[2]羅珍義.命題與開語句的區分[J].數學教學通訊，2003，（2）.

[3]陳俊嶼.《簡易邏輯》中的幾個問題的探討[J].教學月刊（中學版），2003，（1）.

[4]謝紹義.“或”“且”“非”命題的判斷及構造[J].數學教學研究，2002，（4）.